Binomialkoeffizient Rechner

Binomialkoeffizient C(n, r) exakt berechnen, dazu Permutationen nPr und die Fakultäten n!, r! und (n − r)! – mit Rechenweg Schritt für Schritt für n bis 1.000.

Anzahl der Elemente (n)

Davon ausgewählt (r)

C(n, r)

P(n, r)

C(n, r) – Kombinationen

P(n, r) – Permutationen

(n − r)!

Lösung Schritt für Schritt

Über diesen Rechner

Der Binomialkoeffizient C(n, r), gelesen „n über r“, gibt an, auf wie viele Arten sich r Elemente aus n verschiedenen Elementen auswählen lassen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt. Er ist der r-te Eintrag in Zeile n des Pascalschen Dreiecks, der Koeffizient von xʳ in der Entwicklung von (1 + x)ⁿ und der Faktor C(n, k) in der Formel der Binomialverteilung.

Dieser Rechner arbeitet mit exakter Ganzzahlarithmetik, es wird also nichts gerundet: C(1000, 500) zum Beispiel hat 300 Stellen, und jede einzelne wird angezeigt. Außerdem liefert er die Anzahl der Permutationen nPr (bei denen die Reihenfolge zählt) und die drei Fakultäten aus der Formel.

So funktioniert’s

Geben Sie n ein, die Gesamtzahl der Elemente (eine ganze Zahl von 0 bis 1.000).
Geben Sie r ein, die Anzahl der ausgewählten Elemente (von 0 bis n).
Lesen Sie C(n, r), nPr und die Fakultäten ab. Lange Zahlen übernehmen Sie mit der Schaltfläche „Kopieren“.
Der Rechenweg zeigt die verwendete Abkürzung: Die größere Fakultät wird gekürzt, sodass nur r kleine Faktoren multipliziert werden müssen.

Die Formeln

Kombinationen (ohne Beachtung der Reihenfolge)

C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)

n! zählt alle Anordnungen der n Elemente. Die Division durch r! und (n − r)! entfernt die Anordnungen innerhalb der ausgewählten und innerhalb der übrigen Gruppe, denn sie ergeben keine andere Auswahl.

Multiplikative Abkürzung

C(n, r) = [n · (n − 1) · … · (n − r + 1)] / r!

(n − r)! kürzt sich heraus, sodass oben nur r Faktoren nötig sind. Nimmt man das kleinere von r und n − r, bleibt die Rechnung kurz, denn C(n, r) = C(n, n − r).

Permutationen (mit Beachtung der Reihenfolge)

P(n, r) = n! / (n − r)! = C(n, r) · r!

Jede ungeordnete Auswahl von r Elementen lässt sich auf r! Arten anordnen. Es gibt also r!-mal so viele Permutationen wie Kombinationen.

Rekursionsformel (Pascalsches Dreieck)

C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)

Entweder wird ein bestimmtes Element ausgewählt (dann wählt man r − 1 aus den übrigen n − 1), oder es wird nicht ausgewählt (dann wählt man alle r aus den übrigen n − 1). Deshalb ist jede Zahl im Pascalschen Dreieck die Summe der beiden Zahlen darüber.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Pokerblätter mit fünf Karten

Wie viele verschiedene Blätter mit 5 Karten lassen sich aus einem Standardspiel mit 52 Karten geben? Die Reihenfolge, in der man die Karten erhält, spielt keine Rolle – gesucht ist also C(52, 5).

Die obersten fünf Faktoren multiplizieren: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200. Das ist zugleich P(52, 5), die Anzahl der geordneten Ziehungen.
Durch 5! = 120 teilen, um die Anordnungen der fünf Karten herauszurechnen.
311.875.200 / 120 = 2.598.960.

Ergebnis: Es gibt C(52, 5) = 2.598.960 mögliche Blätter. Ein bestimmtes Blatt hat also eine Wahrscheinlichkeit von 1 zu 2.598.960.

Beispiel 2: Lotto 6 aus 49

Beim Lotto werden 6 Zahlen aus 1 bis 49 gezogen. Wie viele verschiedene Tipps sind möglich, und wie groß ist die Chance, dass ein einzelner Tipp sechs Richtige hat?

Obere Faktoren: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 = 10.068.347.520.
Durch 6! = 720 teilen: 10.068.347.520 / 720 = 13.983.816.
Gewinnwahrscheinlichkeit eines einzelnen Tipps = 1 / 13.983.816 ≈ 7,15 × 10⁻⁸.

Ergebnis: C(49, 6) = 13.983.816. Mit einem Tipp liegt die Chance auf sechs Richtige (ohne Superzahl) bei etwa 7,2 × 10⁻⁸.

Wann der Rechner für Binomialkoeffizienten passt

C(n, r) verwenden Sie, wenn Sie eine Gruppe auswählen und die Reihenfolge innerhalb der Gruppe keine Rolle spielt: Ausschüsse, Kartenblätter, Lottozahlen oder die Frage, welche Aufgaben eines Tests richtig gelöst wurden.
nPr verwenden Sie, wenn die Reihenfolge zählt: Platzierungen bei einem Rennen, PINs ohne doppelte Ziffern, Personen auf nummerierten Stühlen.
Die Elemente müssen unterscheidbar sein, und jedes darf höchstens einmal gewählt werden (ohne Wiederholung).

Wann er nicht passt

Auswahl mit Wiederholung (zum Beispiel Eiskugeln, bei denen Sorten mehrfach vorkommen dürfen): Die Anzahl ist C(n + r − 1, r). Sie erhalten sie hier, indem Sie n + r − 1 statt n eingeben.
Anordnungen von Buchstaben mit Wiederholungen (etwa MISSISSIPPI): Dafür braucht man den Multinomialkoeffizienten n! / (a! · b! · …).

Häufige Fehler

nPr verwenden, obwohl die Reihenfolge egal ist. Bei einem Ausschuss aus 3 von 10 Personen zählt P(10, 3) = 720 jeden Ausschuss 3! = 6-mal; richtig ist C(10, 3) = 120.
Die vollständigen Fakultäten mit einem normalen Taschenrechner berechnen. 171! ist größer, als eine gewöhnliche Gleitkommazahl darstellen kann, deshalb läuft n! / (r!(n − r)!) über, lange bevor C(n, r) selbst groß ist. Kürzen Sie zuerst oder rechnen Sie exakt wie dieses Tool.
Die Randfälle vergessen: C(n, 0) = C(n, n) = 1, weil 0! = 1, und C(n, r) = 0, wenn r > n.
Ein großes Ergebnis in wissenschaftlicher Schreibweise runden und dann damit exakt weiterzählen. Um aus einer Anzahl die Wahrscheinlichkeit für k Treffer zu berechnen, nutzen Sie den Binomialverteilung Rechner.

Häufige Fragen

Was bedeutet nCr?

nCr ist die Anzahl der Kombinationen von r aus n Elementen – dieselbe Zahl wie der Binomialkoeffizient C(n, r), also „n über r“. Zum Beispiel ist 5C2 = 10.

Was ist der Unterschied zwischen nCr und nPr?

nCr zählt Auswahlen, bei denen die Reihenfolge keine Rolle spielt, nPr zählt Anordnungen, bei denen sie eine Rolle spielt. Es gilt nPr = nCr × r!, nPr ist also immer mindestens so groß.

Warum ist 0! gleich 1?

Es gibt genau eine Möglichkeit, null Elemente anzuordnen: nichts tun. Mit der Festlegung 0! = 1 funktionieren außerdem Formeln wie C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 ohne Sonderfälle.

Warum heißt er Binomialkoeffizient?

Weil C(n, r) der Koeffizient von xʳyⁿ⁻ʳ ist, wenn man das Binom (x + y)ⁿ ausmultipliziert. Zum Beispiel ist (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, und 1, 3, 3, 1 sind C(3, 0) bis C(3, 3).

Was hat nCr mit der Binomialverteilung zu tun?

In P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ zählt der Koeffizient, wie viele verschiedene Folgen von n Versuchen genau k Treffer enthalten. Jede dieser Folgen hat dieselbe Wahrscheinlichkeit pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Wie groß darf n höchstens sein?

n darf bis 1.000 gehen. Die Ergebnisse sind exakte ganze Zahlen; 1000! hat 2.568 Stellen, und die Seite zeigt jede einzelne samt Stellenzahl an.