이항계수 계산기(nCr)
이항계수 C(n, r) 값을 무료로 정확하게 계산합니다. 순열 nPr과 팩토리얼 n!, r!, (n − r)!도 함께 구하고, n = 1,000까지 단계별 풀이를 보여 줍니다.
단계별 풀이
계산기 소개
이항계수 C(n, r)은 ‘n개 중 r개를 고르는 조합의 수’로, 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 고르는 방법의 수입니다. 고등학교 수학에서는 보통 ₙCᵣ로 씁니다. 이 값은 파스칼의 삼각형 n번째 줄의 r번째 수, (1 + x)ⁿ을 전개했을 때 xʳ의 계수, 그리고 이항분포 확률 공식에 나오는 C(n, k)와 같습니다.
이 계산기는 정수 연산을 그대로 사용하므로 반올림이 전혀 없습니다. 예를 들어 C(1000, 500)은 300자리 수인데, 모든 자리를 빠짐없이 보여 줍니다. 순서가 중요한 경우의 순열 수 nPr과 공식에 나오는 세 팩토리얼도 함께 구합니다.
사용 방법
- 전체 개수 n을 입력합니다(0부터 1,000까지의 정수).
- 고를 개수 r을 입력합니다(0부터 n까지).
- C(n, r), nPr, 팩토리얼 값을 확인합니다. 긴 숫자는 복사 버튼으로 복사할 수 있습니다.
- 단계별 풀이에서는 큰 팩토리얼을 약분해 작은 인수 r개만 곱하는 지름길을 보여 줍니다.
공식
조합(순서를 따지지 않음)
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)n!은 n개 전체를 나열하는 모든 순서의 수입니다. 여기서 r!과 (n − r)!로 나누면 뽑힌 묶음 안의 순서와 남은 묶음 안의 순서가 제거됩니다. 이런 순서 바꿈은 다른 선택을 만들지 않기 때문입니다.
곱셈 공식(약분 이용)
C(n, r) = [n · (n − 1) · … · (n − r + 1)] / r!(n − r)!이 약분되어 사라지므로 분자에는 인수 r개만 있으면 됩니다. C(n, r) = C(n, n − r)이므로 r과 n − r 중 작은 쪽을 쓰면 계산이 짧아집니다.
순열(순서가 중요함)
P(n, r) = n! / (n − r)! = C(n, r) · r!순서를 따지지 않는 r개의 선택 하나하나를 r!가지 순서로 배열할 수 있으므로, 순열의 수는 조합의 수의 r!배입니다.
파스칼의 법칙
C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)특정한 한 개를 고르는 경우(나머지 n − 1개에서 r − 1개를 고름)와 고르지 않는 경우(나머지 n − 1개에서 r개를 모두 고름)로 나누어 생각합니다. 파스칼의 삼각형에서 각 수가 바로 위 두 수의 합인 이유가 바로 이것입니다.
풀이 예제
예제 1: 포커 다섯 장 패
표준 카드 52장에서 5장을 받을 때 가능한 패는 몇 가지일까요? 카드를 받는 순서는 상관없으므로 C(52, 5)를 구합니다.
- 위에서부터 다섯 개 인수를 곱합니다: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311,875,200. 이것은 받는 순서까지 구분한 경우의 수 P(52, 5)이기도 합니다.
- 5! = 120으로 나누어 다섯 장의 순서 차이를 없앱니다.
- 311,875,200 / 120 = 2,598,960.
답: 가능한 패는 C(52, 5) = 2,598,960가지이므로, 특정한 패 하나가 나올 확률은 2,598,960분의 1입니다.
예제 2: 49개 중 6개를 고르는 로또
1부터 49까지의 숫자 중 6개를 추첨하는 로또가 있습니다. 가능한 번호 조합은 몇 가지이고, 복권 한 장으로 여섯 숫자를 모두 맞힐 확률은 얼마일까요?
- 위에서부터 여섯 개 인수: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 = 10,068,347,520.
- 6! = 720으로 나눕니다: 10,068,347,520 / 720 = 13,983,816.
- 복권 한 장이 1등에 당첨될 확률 = 1 / 13,983,816 ≈ 7.15 × 10⁻⁸.
답: C(49, 6) = 13,983,816입니다. 복권을 한 장 사면 여섯 숫자를 모두 맞힐 확률은 약 7.2 × 10⁻⁸입니다.
이항계수 계산기를 사용하는 경우
- 묶음을 고르되 그 안의 순서는 상관없을 때는 C(n, r)을 씁니다. 위원회 구성, 카드 패, 로또 번호, 시험에서 어떤 문제를 맞혔는지 등이 해당합니다.
- 순서가 중요할 때는 nPr을 씁니다. 경주 순위, 같은 숫자를 반복하지 않는 비밀번호, 번호가 매겨진 의자에 사람을 앉히는 경우 등입니다.
- 각 항목은 서로 구별되어야 하며, 각각 최대 한 번만 고를 수 있어야 합니다(중복 없음).
적용할 수 없는 경우
- 중복을 허용해 고르는 경우(같은 맛을 여러 번 고를 수 있는 아이스크림 조합 등): 이것은 중복조합이며 개수는 C(n + r − 1, r)입니다. 이 계산기에서 n 대신 n + r − 1을 입력하면 구할 수 있습니다.
- 같은 글자가 반복되는 단어의 배열(예: MISSISSIPPI): 이 경우에는 다항계수 n! / (a! · b! · …) 공식이 필요합니다.
자주 하는 실수
- 순서가 상관없는데 nPr을 쓰는 실수. 10명 중 3명으로 위원회를 꾸릴 때 P(10, 3) = 720은 같은 위원회를 3! = 6번씩 중복해서 셉니다. 정답은 C(10, 3) = 120입니다.
- 일반 계산기로 팩토리얼을 그대로 계산하는 실수. 171!은 일반적인 부동소수점 수로 표현할 수 있는 범위를 넘기 때문에, C(n, r) 자체는 그리 크지 않아도 n! / (r!(n − r)!) 계산은 도중에 오버플로가 납니다. 먼저 약분하거나, 이 도구처럼 정확한 정수 연산을 사용하세요.
- 경계 사례를 잊는 실수. 0! = 1이므로 C(n, 0) = C(n, n) = 1이고, r > n이면 C(n, r) = 0입니다.
- 지수 표기로 나온 큰 결과를 반올림한 뒤 다시 정확한 경우의 수 계산에 쓰는 실수. 경우의 수를 k번 성공할 확률로 바꾸려면 이항분포 계산기를 사용하세요.
자주 묻는 질문
nCr은 무슨 뜻인가요?
nCr은 n개에서 r개를 뽑는 조합의 수로, 이항계수 C(n, r)과 같은 값입니다. 예를 들어 5C2 = 10입니다.
nCr과 nPr의 차이는 무엇인가요?
nCr은 순서를 따지지 않는 선택의 수이고, nPr은 순서를 따지는 배열의 수입니다. nPr = nCr × r!이므로 nPr은 항상 nCr 이상입니다.
0!이 1인 이유는 무엇인가요?
0개를 배열하는 방법은 ‘아무것도 하지 않기’ 한 가지뿐이기 때문입니다. 또 0! = 1로 정의하면 C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 같은 공식이 예외 없이 성립합니다.
왜 이항계수라고 부르나요?
이항식 (x + y)ⁿ을 전개했을 때 xʳyⁿ⁻ʳ의 계수가 C(n, r)이기 때문입니다. 예를 들어 (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³이고, 계수 1, 3, 3, 1은 C(3, 0)부터 C(3, 3)까지의 값입니다.
nCr은 이항분포와 어떤 관계가 있나요?
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ에서 이항계수는 n번의 시행 중 정확히 k번 성공하는 순서가 몇 가지인지를 셉니다. 그런 순서는 모두 같은 확률 pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ을 가집니다.
이 계산기가 다룰 수 있는 가장 큰 n은 얼마인가요?
n은 1,000까지입니다. 결과는 정확한 정수이며, n = 1,000일 때 n!은 2,568자리이고 페이지에는 자릿수와 함께 모든 자리가 표시됩니다.