Normalapproximation der Binomialverteilung
Exakte Binomialwahrscheinlichkeit und Normalapproximation im direkten Vergleich: mit Stetigkeitskorrektur, z-Wert, Faustregel np ≥ 5 und exaktem Fehler.
z. B. 0,3; 30 % oder 3/10
Lösung Schritt für Schritt
Über diesen Rechner
Für großes n sieht eine Binomialverteilung einer Normalverteilung (Glockenkurve) mit gleichem Erwartungswert und gleicher Standardabweichung sehr ähnlich – das besagt der Satz von Moivre-Laplace. Vor dem Computerzeitalter ließen sich Binomialwahrscheinlichkeiten so mit einer Tabelle der Standardnormalverteilung abschätzen, und noch heute beruht der gängige z-Test für Anteile darauf.
Dieser Rechner zeigt beide Antworten nebeneinander: die exakte Binomialwahrscheinlichkeit und die Normalapproximation mit und ohne Stetigkeitskorrektur. Außerdem zeigt er den z-Wert, prüft die übliche Faustregel (np ≥ 5 und n(1 − p) ≥ 5) und gibt an, wie weit die Näherung vom exakten Wert abweicht – so sehen Sie, wann die Abkürzung zuverlässig ist.
So funktioniert’s
- Geben Sie n, p und k ein.
- Wählen Sie das Ereignis: P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k) oder P(X = k).
- Lesen Sie die exakte Wahrscheinlichkeit, die Näherung, die korrigierte Grenze samt z-Wert und den Fehler ab.
- Achten Sie auf die Anzeige zur Faustregel. Ist sie nicht erfüllt, verlassen Sie sich auf den exakten Wert.
Die Formeln
Gleicher Erwartungswert, gleiche Standardabweichung
μ = n·p σ = √(n·p·(1 − p))Die nähernde Normalverteilung übernimmt genau den Erwartungswert und die Standardabweichung der Binomialverteilung.
Stetigkeitskorrektur
P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0,5) P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0,5) P(X = k) ≈ P(k − 0,5 < Y < k + 0,5)Die Binomialverteilung nimmt nur ganzzahlige Werte an, und jeder davon entspricht einem Balken der Breite 1 mit der Mitte bei k. Verschiebt man die Grenze um eine halbe Einheit, erfasst die glatte Kurve den ganzen Balken, statt ihn in der Mitte zu durchschneiden.
z-Wert
z = (x − μ) / σ dann P(Y < x) = Φ(z)Standardisieren Sie die korrigierte Grenze x und lesen Sie den Wert Φ(z) der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ab. Für „größer als“-Ereignisse verwenden Sie 1 − Φ(z).
Faustregel
n·p ≥ 5 und n·(1 − p) ≥ 5Beide erwarteten Anzahlen sollten groß genug sein, damit die Verteilung nicht gegen 0 oder n gedrückt wird. Manche Lehrbücher verlangen 10 statt 5; im Schulunterricht ist außerdem die Laplace-Bedingung σ > 3 verbreitet.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: höchstens 55-mal Kopf bei 100 Würfen
Eine faire Münze wird 100-mal geworfen. Schätzen Sie P(X ≤ 55) mit der Normalapproximation ab und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Wert.
- μ = 100 × 0,5 = 50, σ = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5. Faustregel: np = 50 und n(1 − p) = 50, beide ≥ 5.
- Stetigkeitskorrektur: P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55,5).
- z = (55,5 − 50) / 5 = 1,1, die Näherung ist also Φ(1,1) = 0,864334.
- Exakter Binomialwert: P(X ≤ 55) = 0,864373.
- Ohne Korrektur wäre z = (55 − 50) / 5 = 1 und Φ(1) = 0,841345 – merklich schlechter.
Ergebnis: Die korrigierte Näherung weicht nur um 4 × 10⁻⁵ ab; ohne Korrektur beträgt der Fehler etwa 0,023.
Beispiel 2: wenn die Faustregel nicht erfüllt ist
Ein Prozess erzeugt 10 % fehlerhafte Teile. Wie groß ist in einer Stichprobe von 20 Stück P(X ≤ 1)?
- μ = 20 × 0,1 = 2, σ = √(20 × 0,1 × 0,9) ≈ 1,342. Faustregel: np = 2, also unter 5.
- Korrigierte Grenze 1,5, z = (1,5 − 2) / 1,342 = -0,3727, Näherung Φ(z) = 0,354694.
- Exakter Binomialwert: P(X ≤ 1) = 0,9²⁰ + 20 × 0,1 × 0,9¹⁹ = 0,391747.
Ergebnis: Die Näherung weicht um 0,037 ab (etwa 9 % des wahren Werts). Bei kleinem np ist die Verteilung schief, und eine symmetrische Glockenkurve passt schlecht – verwenden Sie hier den exakten Wert.
Wann der Rechner zur Normalapproximation passt
- Die Situation ist binomial: festes n, zwei Ausgänge, konstantes p und unabhängige Versuche.
- n·p und n·(1 − p) sind beide mindestens 5 (oder 10 bei strengerem Maßstab).
- Sie brauchen eine schnelle Abschätzung von Hand, möchten verstehen, wie z-Tests für Anteile funktionieren, oder wollen eine Lösung aus dem Lehrbuch überprüfen.
- Steht Software zur Verfügung, ist die exakte Binomialwahrscheinlichkeit immer mindestens so genau; die Näherung ist eine Erleichterung, keine Verbesserung. Für großes n mit vielen Treffern berechnet der Binomialverteilung Rechner die exakte Summe direkt.
Wann er nicht passt
- Kleines n oder extremes p (nahe 0 oder 1). Ist n groß, aber p klein, ist die Poisson-Verteilung mit Erwartungswert n·p meist die bessere Näherung.
- Wahrscheinlichkeiten weit draußen in den Rändern der Verteilung, etwa P(X ≥ 90) bei 100 Münzwürfen. Der absolute Fehler mag winzig sein, der relative kann aber enorm ausfallen.
Häufige Fehler
- Die Stetigkeitskorrektur vergessen oder die Grenze in die falsche Richtung verschieben. „Höchstens k“ verwendet k + 0,5, „mindestens k“ verwendet k − 0,5, und „weniger als k“ bedeutet „höchstens k − 1“, verwendet also ebenfalls k − 0,5.
- Im z-Wert die Varianz n·p·(1 − p) einsetzen, wo die Standardabweichung √(n·p·(1 − p)) hingehört.
- Die Näherung anwenden, obwohl n·p oder n·(1 − p) klein ist – dann kann sie deutlich danebenliegen (siehe Beispiel 2). Der Binomialverteilung Rechner liefert den exakten Wert für jedes n bis 100.000.
- P(X = k) ohne Korrektur annähern: Eine stetige Kurve liefert für einen einzelnen Punkt genau 0, daher müssen Sie das Intervall von k − 0,5 bis k + 0,5 verwenden.
Häufige Fragen
Was ist die Stetigkeitskorrektur?
Eine Verschiebung der Grenze um 0,5, wenn eine stetige Normalverteilung eine diskrete Verteilung annähert. Jede ganze Zahl k wird als Intervall von k − 0,5 bis k + 0,5 behandelt, sodass aus P(X ≤ k) die Näherung P(Y < k + 0,5) wird.
Wann darf ich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern?
Wenn n·p ≥ 5 und n·(1 − p) ≥ 5 gilt (manche Kurse verlangen 10). Unter diesen Bedingungen ist die Binomialverteilung annähernd symmetrisch, und die Glockenkurve passt gut.
Wie genau ist die Normalapproximation?
Das hängt von n, p und dem Ereignis ab. Bei 100 fairen Münzwürfen weicht P(X ≤ 55) mit Korrektur um etwa 4 × 10⁻⁵ ab. Bei n = 20 und p = 0,1 beträgt der Fehler etwa 0,037. Der Rechner zeigt den exakten Fehler für Ihre Eingaben.
Muss ich mit + 0,5 oder − 0,5 rechnen?
Erweitern Sie den Bereich so, dass er den ganzen Balken jedes gewünschten Werts enthält. Für X ≤ k oder X > k liegt die Grenze bei k + 0,5, für X ≥ k oder X < k bei k − 0,5.
Warum die Näherung verwenden, wenn es den exakten Wert gibt?
Vor allem für Rechnungen von Hand, in Prüfungen und weil viele statistische Tests für Anteile darauf aufbauen. Wenn Sie die exakte Binomialwahrscheinlichkeit berechnen können – wie auf dieser Seite –, ziehen Sie den exakten Wert vor.