Kalkulator Koefisien Binomial

Kalkulator koefisien binomial: hitung C(n, r) secara eksak, beserta permutasi nPr dan faktorial n!, r!, (n − r)!, dengan langkah lengkap untuk n hingga 1.000.

Jumlah benda (n)

Benda yang dipilih (r)

C(n, r)

P(n, r)

C(n, r) — kombinasi

P(n, r) — permutasi

(n − r)!

Penyelesaian langkah demi langkah

Tentang kalkulator ini

Koefisien binomial C(n, r), dibaca “kombinasi r dari n”, adalah banyaknya cara memilih r benda dari n benda berbeda jika urutan tidak diperhatikan. Bilangan ini sama dengan entri ke-r pada baris ke-n segitiga Pascal, koefisien xʳ dalam penjabaran (1 + x)ⁿ, dan faktor C(n, k) dalam rumus peluang binomial.

Kalkulator ini menggunakan aritmetika bilangan bulat yang eksak, sehingga tidak ada yang dibulatkan: C(1000, 500), misalnya, memiliki 300 digit dan semuanya ditampilkan. Kalkulator ini juga memberikan banyaknya permutasi nPr (ketika urutan diperhatikan) dan ketiga faktorial yang muncul dalam rumus.

Cara menggunakan

Masukkan n, jumlah seluruh benda (bilangan bulat dari 0 sampai 1.000).
Masukkan r, banyaknya benda yang dipilih (dari 0 sampai n).
Baca C(n, r), nPr, dan faktorialnya. Bilangan yang panjang dapat disalin dengan tombol Salin.
Bagian penyelesaian langkah demi langkah menunjukkan cara cepat yang digunakan: mencoret faktorial yang lebih besar sehingga hanya r faktor kecil yang perlu dikalikan.

Rumus-rumus

Kombinasi (urutan tidak diperhatikan)

C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)

n! menghitung semua urutan dari n benda. Membaginya dengan r! dan (n − r)! menghilangkan urutan di dalam kelompok yang dipilih dan di dalam kelompok sisanya, karena urutan tersebut tidak menghasilkan pilihan yang berbeda.

Cara cepat dengan perkalian

C(n, r) = [n · (n − 1) · … · (n − r + 1)] / r!

(n − r)! saling mencoret, sehingga hanya diperlukan r faktor di pembilang. Memakai nilai yang lebih kecil antara r dan n − r membuat perhitungan tetap singkat, karena C(n, r) = C(n, n − r).

Permutasi (urutan diperhatikan)

P(n, r) = n! / (n − r)! = C(n, r) · r!

Setiap pilihan r benda tanpa memperhatikan urutan dapat disusun dalam r! urutan, sehingga banyaknya permutasi adalah r! kali banyaknya kombinasi.

Aturan Pascal

C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)

Sebuah benda tertentu bisa terpilih (lalu pilih r − 1 dari n − 1 benda lainnya) atau tidak terpilih (pilih semua r dari n − 1 benda lainnya). Itulah sebabnya setiap bilangan dalam segitiga Pascal adalah jumlah dua bilangan di atasnya.

Contoh soal dan pembahasan

Contoh 1: kombinasi lima kartu poker

Berapa banyak kombinasi 5 kartu berbeda yang dapat dibagikan dari satu dek standar berisi 52 kartu? Urutan kartu yang Anda terima tidak diperhatikan, jadi yang dicari adalah C(52, 5).

Kalikan lima faktor teratas: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200. Ini juga sama dengan P(52, 5), banyaknya cara membagikan kartu jika urutan diperhatikan.
Bagi dengan 5! = 120 untuk menghilangkan urutan kelima kartu.
311.875.200 / 120 = 2.598.960.

Jawaban: Ada C(52, 5) = 2.598.960 kemungkinan kombinasi kartu, sehingga peluang mendapatkan satu kombinasi tertentu adalah 1 banding 2.598.960.

Contoh 2: lotre 6 dari 49

Sebuah lotre mengundi 6 angka dari 1 sampai 49. Berapa banyak tiket berbeda yang mungkin, dan berapa peluang satu tiket cocok dengan keenam angka tersebut?

Faktor teratas: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 = 10.068.347.520.
Bagi dengan 6! = 720: 10.068.347.520 / 720 = 13.983.816.
Peluang satu tiket menang = 1 / 13.983.816 ≈ 7,15 × 10⁻⁸.

Jawaban: C(49, 6) = 13.983.816. Membeli satu tiket memberi peluang sekitar 7,2 × 10⁻⁸ untuk mencocokkan keenam angka.

Kapan menggunakan kalkulator koefisien binomial

Gunakan C(n, r) saat Anda memilih sekelompok benda dan urutan di dalam kelompok tidak diperhatikan: susunan panitia, kombinasi kartu, angka lotre, atau soal mana saja yang dijawab benar dalam ujian.
Gunakan nPr saat urutan diperhatikan: posisi finis dalam lomba, PIN tanpa digit berulang, atau menempatkan orang di kursi bernomor.
Benda-benda harus berbeda, dan masing-masing hanya dapat dipilih paling banyak sekali (tanpa pengulangan).

Kapan tidak dapat digunakan

Memilih dengan pengulangan (misalnya beberapa sendok es krim yang rasanya boleh sama): banyaknya adalah C(n + r − 1, r), yang dapat Anda hitung di sini dengan memasukkan n + r − 1 sebagai pengganti n.
Susunan huruf yang mengandung huruf berulang (seperti MISSISSIPPI): untuk itu diperlukan koefisien multinomial n! / (a! · b! · …).

Kesalahan umum

Menggunakan nPr padahal urutan tidak diperhatikan. Untuk panitia 3 orang dari 10 orang, P(10, 3) = 720 menghitung setiap panitia sebanyak 3! = 6 kali; jawaban yang benar adalah C(10, 3) = 120.
Menghitung faktorial lengkap dengan kalkulator biasa. 171! lebih besar daripada yang dapat ditampung bilangan floating-point biasa, sehingga n! / (r!(n − r)!) mengalami overflow jauh sebelum C(n, r) itu sendiri menjadi besar. Coret faktornya terlebih dahulu, atau gunakan aritmetika eksak seperti alat ini.
Melupakan kasus khusus: C(n, 0) = C(n, n) = 1 karena 0! = 1, dan C(n, r) = 0 jika r > n.
Membulatkan hasil besar yang ditulis dalam notasi ilmiah, lalu memakainya untuk perhitungan eksak berikutnya. Untuk mengubah banyaknya cara menjadi peluang k sukses, gunakan kalkulator distribusi binomial.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa arti nCr?

nCr adalah banyaknya kombinasi r benda yang diambil dari n benda, sama dengan koefisien binomial C(n, r) atau “kombinasi r dari n”. Contohnya, 5C2 = 10.

Apa perbedaan nCr dan nPr?

nCr menghitung pilihan yang urutannya tidak diperhatikan, sedangkan nPr menghitung susunan yang urutannya diperhatikan. nPr = nCr × r!, sehingga nPr selalu paling sedikit sama besar dengan nCr.

Mengapa 0! sama dengan 1?

Hanya ada tepat satu cara untuk menyusun nol benda (tidak melakukan apa-apa). Mendefinisikan 0! = 1 juga membuat rumus seperti C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 berlaku tanpa pengecualian.

Mengapa disebut koefisien binomial?

Karena C(n, r) adalah koefisien xʳyⁿ⁻ʳ ketika binomial (x + y)ⁿ dijabarkan. Contohnya, (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, dan 1, 3, 3, 1 adalah C(3, 0) sampai C(3, 3).

Apa hubungan nCr dengan distribusi binomial?

Dalam P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, koefisien tersebut menghitung berapa banyak urutan n percobaan yang memuat tepat k sukses. Setiap urutan seperti itu memiliki peluang yang sama, yaitu pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Berapa nilai n terbesar yang dapat dihitung?

n hingga 1.000. Hasilnya berupa bilangan bulat yang eksak; 1000! memiliki 2.568 digit, dan halaman ini menampilkan semua digitnya beserta jumlah digitnya.