Calculateur de coefficient binomial
Calcul du coefficient binomial C(n, r) en valeur exacte, avec les arrangements nPr et les factorielles n!, r! et (n − r)!, étape par étape, pour n jusqu’à 1 000.
Solution détaillée
À propos de ce calculateur
Le coefficient binomial C(n, r), qui se lit « r parmi n », est le nombre de façons de choisir r éléments parmi n éléments distincts lorsque l’ordre n’a pas d’importance. C’est aussi le terme de rang r de la ligne n du triangle de Pascal, le coefficient de xʳ dans le développement de (1 + x)ⁿ et le facteur C(n, k) de la formule de la loi binomiale.
Ce calculateur travaille en arithmétique entière exacte : rien n’est arrondi. C(1000, 500), par exemple, compte 300 chiffres, et tous sont affichés. Il donne aussi le nombre d’arrangements nPr (lorsque l’ordre compte) et les trois factorielles qui apparaissent dans la formule.
Mode d’emploi
- Saisissez n, le nombre total d’éléments (un entier de 0 à 1 000).
- Saisissez r, le nombre d’éléments choisis (de 0 à n).
- Lisez C(n, r), nPr et les factorielles. Les grands nombres se copient avec le bouton Copier.
- La solution détaillée montre le raccourci utilisé : on simplifie la plus grande factorielle pour ne multiplier que r petits facteurs.
Les formules
Combinaisons (l’ordre ne compte pas)
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)n! compte tous les ordres possibles des n éléments. Diviser par r! et par (n − r)! supprime les ordres internes au groupe choisi et au groupe restant, qui ne donnent pas une sélection différente.
Raccourci multiplicatif
C(n, r) = [n · (n − 1) · … · (n − r + 1)] / r!Le (n − r)! se simplifie : il ne reste que r facteurs au numérateur. Prendre le plus petit de r et n − r abrège le calcul, puisque C(n, r) = C(n, n − r).
Arrangements (l’ordre compte)
P(n, r) = n! / (n − r)! = C(n, r) · r!Chaque sélection non ordonnée de r éléments peut être rangée de r! façons : il y a donc r! fois plus d’arrangements que de combinaisons.
Formule de Pascal
C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)Soit un élément donné est choisi (il reste alors r − 1 éléments à choisir parmi les n − 1 autres), soit il ne l’est pas (on choisit les r éléments parmi les n − 1 autres). C’est pourquoi chaque nombre du triangle de Pascal est la somme des deux nombres situés au-dessus.
Exemples corrigés
Exemple 1 : les mains de poker à cinq cartes
Combien de mains différentes de 5 cartes peut-on distribuer avec un jeu standard de 52 cartes ? L’ordre dans lequel on reçoit les cartes n’a pas d’importance : il s’agit donc de C(52, 5).
- Multiplier les cinq premiers facteurs : 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311 875 200. C’est aussi P(52, 5), le nombre de distributions ordonnées.
- Diviser par 5! = 120 pour éliminer les différents ordres des cinq cartes.
- 311 875 200 / 120 = 2 598 960.
Réponse : Il y a C(52, 5) = 2 598 960 mains possibles : une main donnée a donc une probabilité de 1 sur 2 598 960.
Exemple 2 : un loto à 6 numéros parmi 49
Une loterie tire 6 numéros parmi 49. Combien de grilles différentes sont possibles, et quelle est la probabilité qu’une grille trouve les six bons numéros ?
- Facteurs du numérateur : 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 = 10 068 347 520.
- Diviser par 6! = 720 : 10 068 347 520 / 720 = 13 983 816.
- Probabilité de gagner avec une seule grille = 1 / 13 983 816 ≈ 7,15 × 10⁻⁸.
Réponse : C(49, 6) = 13 983 816. Avec une seule grille, la probabilité de trouver les six numéros est d’environ 7,2 × 10⁻⁸.
Quand utiliser le calculateur de coefficient binomial
- Utilisez C(n, r) quand vous choisissez un groupe et que l’ordre à l’intérieur du groupe n’a pas d’importance : comités, mains de cartes, numéros de loto, questions réussies à un examen.
- Utilisez nPr quand l’ordre compte : classement d’une course, codes PIN sans chiffre répété, personnes assises sur des chaises numérotées.
- Les éléments doivent être distincts, et chacun ne peut être choisi qu’une fois au plus (sans répétition).
Quand il ne s’applique pas
- Choix avec répétition (par exemple des boules de glace dont les parfums peuvent se répéter) : le nombre vaut C(n + r − 1, r), que vous obtenez ici en saisissant n + r − 1 à la place de n.
- Anagrammes d’un mot comportant des lettres répétées (comme MISSISSIPPI) : il faut alors le coefficient multinomial n! / (a! · b! · …).
Erreurs fréquentes
- Utiliser nPr alors que l’ordre ne compte pas. Pour un comité de 3 personnes parmi 10, P(10, 3) = 720 compte chaque comité 3! = 6 fois ; la bonne réponse est C(10, 3) = 120.
- Calculer les factorielles complètes sur une calculatrice ordinaire. 171! dépasse la capacité d’un nombre à virgule flottante standard : n! / (r!(n − r)!) déborde donc bien avant que C(n, r) lui-même devienne grand. Simplifiez d’abord, ou utilisez l’arithmétique exacte comme cet outil.
- Oublier les cas limites : C(n, 0) = C(n, n) = 1 car 0! = 1, et C(n, r) = 0 lorsque r > n.
- Arrondir un grand résultat écrit en notation scientifique, puis le réutiliser dans un dénombrement exact. Pour transformer un dénombrement en probabilité de k succès, utilisez la calculatrice de loi binomiale.
Questions fréquentes
Que signifie nCr ?
nCr est le nombre de combinaisons de r éléments parmi n, autrement dit le coefficient binomial C(n, r), « r parmi n ». Par exemple, 5C2 = 10.
Quelle est la différence entre nCr et nPr ?
nCr compte les sélections où l’ordre n’a pas d’importance ; nPr compte les arrangements, où il en a. Comme nPr = nCr × r!, nPr est toujours au moins aussi grand.
Pourquoi 0! vaut-il 1 ?
Il existe exactement une façon d’ordonner zéro élément : ne rien faire. Poser 0! = 1 permet aussi à des formules comme C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 de fonctionner sans cas particulier.
Pourquoi parle-t-on de coefficient binomial ?
Parce que C(n, r) est le coefficient de xʳyⁿ⁻ʳ quand on développe le binôme (x + y)ⁿ. Par exemple (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, et 1, 3, 3, 1 sont C(3, 0) à C(3, 3).
Quel est le lien entre nCr et la loi binomiale ?
Dans P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, le coefficient compte le nombre de séquences de n épreuves contenant exactement k succès. Chacune de ces séquences a la même probabilité, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Quelle est la valeur maximale de n ?
n peut aller jusqu’à 1 000. Les résultats sont des entiers exacts ; 1000! compte 2 568 chiffres, et la page les affiche tous, avec le nombre de chiffres.