Calculadora de coeficiente binomial
Calcule o coeficiente binomial C(n, r) com exatidão, além das permutações nPr e dos fatoriais n!, r! e (n − r)!, com resolução passo a passo para n até 1.000.
Resolução passo a passo
Sobre esta calculadora
O coeficiente binomial C(n, r), lido como “combinação de n, r a r”, é o número de maneiras de escolher r itens entre n itens distintos quando a ordem não importa. Ele é igual ao elemento de posição r da linha n do triângulo de Pascal, ao coeficiente de xʳ no desenvolvimento de (1 + x)ⁿ e ao fator C(n, k) da fórmula da probabilidade binomial.
Esta calculadora usa aritmética exata com números inteiros, então nada é arredondado: C(1000, 500), por exemplo, tem 300 dígitos, e todos eles são exibidos. Ela também mostra o número de permutações nPr (quando a ordem importa) e os três fatoriais que aparecem na fórmula.
Como usar
- Digite n, o número total de itens (um número inteiro de 0 a 1.000).
- Digite r, quantos itens você escolhe (de 0 a n).
- Confira C(n, r), nPr e os fatoriais. Números longos podem ser copiados com o botão Copiar.
- A seção passo a passo mostra o atalho usado: cancelar o fatorial maior para que só seja preciso multiplicar r fatores pequenos.
As fórmulas
Combinações (a ordem não importa)
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)n! conta todas as ordenações possíveis dos n itens. Dividir por r! e por (n − r)! elimina as ordenações dentro do grupo escolhido e dentro do grupo que sobrou, que não geram uma seleção diferente.
Atalho multiplicativo
C(n, r) = [n · (n − 1) · … · (n − r + 1)] / r!O (n − r)! se cancela, então só são necessários r fatores no numerador. Usar o menor entre r e n − r encurta o cálculo, porque C(n, r) = C(n, n − r).
Permutações (a ordem importa)
P(n, r) = n! / (n − r)! = C(n, r) · r!Cada seleção não ordenada de r itens pode ser organizada de r! maneiras, então há r! vezes mais permutações do que combinações.
Relação de Stifel (regra de Pascal)
C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)Ou um item específico é escolhido (e então escolhemos r − 1 entre os outros n − 1), ou não é (e escolhemos todos os r entre os outros n − 1). É por isso que cada número do triângulo de Pascal é a soma dos dois acima dele.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: mãos de pôquer com cinco cartas
Quantas mãos diferentes de 5 cartas podem ser distribuídas com um baralho comum de 52 cartas? A ordem em que você recebe as cartas não importa, então o cálculo é C(52, 5).
- Multiplique os cinco fatores do numerador: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200. Isso também é P(52, 5), o número de distribuições ordenadas.
- Divida por 5! = 120 para eliminar as ordenações das cinco cartas.
- 311.875.200 / 120 = 2.598.960.
Resposta: Existem C(52, 5) = 2.598.960 mãos possíveis, então qualquer mão específica tem probabilidade de 1 em 2.598.960.
Exemplo 2: uma loteria de 6 números entre 49
Uma loteria sorteia 6 números de 1 a 49. Quantos jogos diferentes são possíveis, e qual é a chance de um único jogo acertar os seis?
- Fatores do numerador: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 = 10.068.347.520.
- Divida por 6! = 720: 10.068.347.520 / 720 = 13.983.816.
- Probabilidade de um único jogo ganhar = 1 / 13.983.816 ≈ 7,15 × 10⁻⁸.
Resposta: C(49, 6) = 13.983.816. Com um só jogo, a chance de acertar os seis números é de cerca de 7,2 × 10⁻⁸.
Quando usar a calculadora de coeficiente binomial
- Use C(n, r) quando você escolhe um grupo e a ordem dentro dele não importa: comissões, mãos de cartas, números de loteria, quais questões de uma prova foram respondidas corretamente.
- Use nPr quando a ordem importa: posições de chegada em uma corrida, senhas numéricas sem dígitos repetidos, pessoas sentadas em cadeiras numeradas.
- Os itens precisam ser distintos, e cada um pode ser escolhido no máximo uma vez (sem repetição).
Quando não se aplica
- Escolhas com repetição permitida (por exemplo, bolas de sorvete em que os sabores podem se repetir): a contagem é C(n + r − 1, r), que você pode obter aqui digitando n + r − 1 no lugar de n.
- Anagramas de palavras com letras repetidas (como ARARA): isso exige o coeficiente multinomial n! / (a! · b! · …).
Erros comuns
- Usar nPr quando a ordem não importa. Para uma comissão de 3 pessoas entre 10, P(10, 3) = 720 conta cada comissão 3! = 6 vezes; a resposta certa é C(10, 3) = 120.
- Calcular os fatoriais completos em uma calculadora comum. 171! é maior do que um número de ponto flutuante comum consegue armazenar, então n! / (r!(n − r)!) estoura muito antes de C(n, r) ficar grande. Cancele primeiro ou use aritmética exata, como esta ferramenta faz.
- Esquecer os casos extremos: C(n, 0) = C(n, n) = 1 porque 0! = 1, e C(n, r) = 0 quando r > n.
- Arredondar um resultado grande em notação científica e depois usá-lo em outras contagens exatas. Para transformar uma contagem na probabilidade de k sucessos, use a calculadora de distribuição binomial.
Perguntas frequentes
O que significa nCr?
nCr é o número de combinações de n itens tomados r a r, o mesmo número que o coeficiente binomial C(n, r). Por exemplo, 5C2 = 10.
Qual é a diferença entre nCr e nPr?
nCr conta seleções em que a ordem não importa; nPr — que nos livros brasileiros costuma aparecer como arranjo, A(n, r) — conta agrupamentos em que a ordem importa. Como nPr = nCr × r!, nPr é sempre pelo menos tão grande quanto nCr.
Por que 0! é igual a 1?
Existe exatamente uma maneira de organizar zero itens (não fazer nada). Definir 0! = 1 também faz fórmulas como C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 funcionarem sem casos especiais.
Por que se chama coeficiente binomial?
Porque C(n, r) é o coeficiente de xʳyⁿ⁻ʳ quando o binômio (x + y)ⁿ é desenvolvido. Por exemplo, (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, e 1, 3, 3, 1 são C(3, 0) a C(3, 3).
Qual é a relação entre nCr e a distribuição binomial?
Em P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, o coeficiente conta quantas sequências diferentes de n ensaios têm exatamente k sucessos. Cada uma dessas sequências tem a mesma probabilidade, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Qual é o maior n que esta calculadora aceita?
n até 1.000. Os resultados são inteiros exatos; 1000! tem 2.568 dígitos, e a página mostra todos eles junto com a contagem de dígitos.