Calcolatore del coefficiente binomiale
Calcola in modo esatto il coefficiente binomiale C(n, r), le disposizioni nPr e i fattoriali n!, r! e (n − r)!, con tutti i passaggi, per n fino a 1000.
Soluzione passo per passo
Informazioni su questo calcolatore
Il coefficiente binomiale C(n, r), che si legge “n su r”, è il numero di modi in cui si possono scegliere r elementi da n elementi distinti quando l’ordine non conta. È lo stesso numero che compare in posizione r nella riga n del triangolo di Tartaglia (o di Pascal), il coefficiente di xʳ nello sviluppo di (1 + x)ⁿ e il fattore C(n, k) nella formula della probabilità binomiale.
Questo calcolatore usa l’aritmetica esatta sui numeri interi, quindi non arrotonda nulla: C(1000, 500), per esempio, ha 300 cifre e le vedi tutte. Fornisce anche il numero di disposizioni nPr (quando l’ordine conta) e i tre fattoriali che compaiono nella formula.
Come si usa
- Inserisci n, il numero totale di elementi (un intero da 0 a 1000).
- Inserisci r, quanti elementi scegli (da 0 a n).
- Leggi C(n, r), nPr e i fattoriali. I numeri lunghi si possono copiare con il pulsante Copia.
- La sezione passo per passo mostra la scorciatoia utilizzata: semplificare il fattoriale più grande, così da moltiplicare solo r fattori piccoli.
Le formule
Combinazioni (l’ordine non conta)
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)n! conta tutti gli ordinamenti degli n elementi. Dividere per r! e per (n − r)! elimina gli ordinamenti all’interno del gruppo scelto e di quello rimasto, che non producono una selezione diversa.
Formula moltiplicativa
C(n, r) = [n · (n − 1) · … · (n − r + 1)] / r!Il termine (n − r)! si semplifica, quindi al numeratore bastano r fattori. Usare il più piccolo tra r e n − r mantiene il calcolo breve, perché C(n, r) = C(n, n − r).
Disposizioni (l’ordine conta)
P(n, r) = n! / (n − r)! = C(n, r) · r!Ogni selezione non ordinata di r elementi può essere ordinata in r! modi, quindi le disposizioni sono r! volte le combinazioni.
Formula di Stifel (regola di Pascal)
C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)Un determinato elemento o viene scelto (e allora se ne scelgono r − 1 tra gli altri n − 1) oppure no (e allora si scelgono tutti gli r tra gli altri n − 1). Per questo ogni numero del triangolo di Tartaglia è la somma dei due che gli stanno sopra.
Esempi svolti
Esempio 1: mani di poker da cinque carte
Quante mani diverse da 5 carte si possono distribuire da un mazzo standard di 52 carte? L’ordine in cui ricevi le carte non conta, quindi si tratta di C(52, 5).
- Moltiplica i primi cinque fattori: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200. È anche P(52, 5), il numero di distribuzioni ordinate.
- Dividi per 5! = 120 per eliminare gli ordinamenti delle cinque carte.
- 311.875.200 / 120 = 2.598.960.
Risposta: Le mani possibili sono C(52, 5) = 2.598.960, quindi la probabilità di ricevere una mano specifica è di 1 su 2.598.960.
Esempio 2: una lotteria 6 su 49
Una lotteria estrae 6 numeri da 1 a 49. Quante schedine diverse sono possibili e qual è la probabilità che una schedina indovini tutti e sei i numeri?
- Fattori al numeratore: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 = 10.068.347.520.
- Dividi per 6! = 720: 10.068.347.520 / 720 = 13.983.816.
- Probabilità di vincita con una schedina = 1 / 13.983.816 ≈ 7,15 × 10⁻⁸.
Risposta: C(49, 6) = 13.983.816. Giocando una sola schedina, la probabilità di indovinare tutti e sei i numeri è di circa 7,2 × 10⁻⁸.
Quando usare il calcolatore del coefficiente binomiale
- Usa C(n, r) quando scegli un gruppo e l’ordine all’interno del gruppo non conta: commissioni, mani di carte, numeri della lotteria, quali domande di un test hanno ricevuto risposta corretta.
- Usa nPr quando l’ordine conta: piazzamenti in una gara, PIN senza cifre ripetute, persone da far sedere su sedie numerate.
- Gli elementi devono essere distinti e ciascuno può essere scelto al massimo una volta (senza ripetizione).
Quando non si applica
- Scelte con ripetizione (per esempio palline di gelato in cui i gusti possono ripetersi): il conteggio è C(n + r − 1, r), che puoi ottenere qui inserendo n + r − 1 al posto di n.
- Anagrammi di parole con lettere ripetute (come MISSISSIPPI): serve il coefficiente multinomiale n! / (a! · b! · …).
Errori comuni
- Usare nPr quando l’ordine non conta. Per una commissione di 3 persone su 10, P(10, 3) = 720 conta ogni commissione 3! = 6 volte; la risposta corretta è C(10, 3) = 120.
- Calcolare i fattoriali completi con una calcolatrice normale. 171! supera il valore massimo di un comune numero in virgola mobile, quindi n! / (r!(n − r)!) va in overflow molto prima che C(n, r) diventi grande. Semplifica prima, oppure usa l’aritmetica esatta come fa questo strumento.
- Dimenticare i casi limite: C(n, 0) = C(n, n) = 1 perché 0! = 1, e C(n, r) = 0 quando r > n.
- Arrotondare un risultato grande scritto in notazione scientifica e poi riutilizzarlo in altri conteggi esatti. Per trasformare un conteggio nella probabilità di k successi, usa la calcolatrice della distribuzione binomiale.
Domande frequenti
Che cosa significa nCr?
nCr è il numero di combinazioni di n elementi presi r alla volta, cioè lo stesso numero del coefficiente binomiale C(n, r), “n su r”. Per esempio, 5C2 = 10.
Che differenza c’è tra nCr e nPr?
nCr conta le selezioni in cui l’ordine non conta; nPr conta quelle in cui l’ordine conta, che in italiano si chiamano disposizioni. nPr = nCr × r!, quindi nPr è sempre grande almeno quanto nCr.
Perché 0! vale 1?
Esiste esattamente un modo di ordinare zero elementi (non fare nulla). Definire 0! = 1 fa inoltre funzionare formule come C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 senza casi particolari.
Perché si chiama coefficiente binomiale?
Perché C(n, r) è il coefficiente di xʳyⁿ⁻ʳ quando si sviluppa il binomio (x + y)ⁿ. Per esempio (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, e 1, 3, 3, 1 sono i valori da C(3, 0) a C(3, 3).
Che legame c’è tra nCr e la distribuzione binomiale?
In P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, il coefficiente conta quante diverse sequenze di n prove contengono esattamente k successi. Ognuna di queste sequenze ha la stessa probabilità, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Qual è il valore massimo di n?
n fino a 1000. I risultati sono interi esatti; 1000! ha 2568 cifre e la pagina le mostra tutte, insieme al numero di cifre.