Binomialverteilung Rechner
Binomialverteilung online berechnen: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) und Intervalle, dazu Erwartungswert, Varianz, Tabelle, Diagramm und Rechenweg.
z. B. 0,25; 25 % oder 1/4
Lösung Schritt für Schritt
Wahrscheinlichkeitstabelle
| x | P(X = x) | P(X ≤ x) | P(X ≥ x) |
|---|
Über diesen Rechner
Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Treffer X bei einer festen Zahl von n Versuchen, wenn jeder Versuch dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit p hat und sich die Versuche nicht gegenseitig beeinflussen – eine sogenannte Bernoulli-Kette. Typische Beispiele sind die Anzahl „Kopf“ bei 10 Münzwürfen, die Zahl defekter Teile in einer Lieferung von 50 Stück oder die Zahl richtig geratener Antworten in einem Multiple-Choice-Test.
Geben Sie oben n, p und k ein. Der Rechner liefert die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer und alle vier kumulierten Wahrscheinlichkeiten (weniger als, höchstens, mehr als, mindestens), die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen zwei Grenzen, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, eine Wahrscheinlichkeitstabelle, ein Diagramm und einen vollständigen Rechenweg mit Ihren eigenen Zahlen.
Alle Ergebnisse werden direkt in Ihrem Browser exakt aus der Formel der Binomialverteilung berechnet – nicht über eine Näherung durch die Normalverteilung und nicht aus einer gedruckten Tabelle –, und zwar für jedes n von 1 bis 100.000.
So funktioniert’s
- Geben Sie die Anzahl der Versuche n ein (eine ganze Zahl).
- Geben Sie die Trefferwahrscheinlichkeit p für einen einzelnen Versuch ein – als Dezimalzahl (0,25 oder 0.25), als Prozentwert (25 %) oder als Bruch (1/4).
- Geben Sie die Anzahl der Treffer k ein, die Sie interessiert.
- Wählen Sie das Ereignis, das hervorgehoben werden soll – zum Beispiel „Mindestens k“ –, oder wählen Sie „Zwischen a und b“ und geben Sie beide Grenzen ein.
- Lesen Sie Ergebnisse, Tabelle und Diagramm ab. Sie aktualisieren sich schon während der Eingabe, ebenso die Seitenadresse – so können Sie Ihre Eingaben als Lesezeichen speichern oder teilen.
Die Formeln
Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏpᵏ ist die Wahrscheinlichkeit, dass k bestimmte Versuche alle Treffer sind, und (1 − p)ⁿ⁻ᵏ die Wahrscheinlichkeit, dass die übrigen n − k Versuche alle Nieten sind. C(n, k) zählt, in wie vielen verschiedenen Reihenfolgen die Treffer auftreten können – die Formel multipliziert also die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfades mit der Anzahl solcher Pfade.
Binomialkoeffizient
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)Auch ⁿCₖ geschrieben und „n über k“ gelesen: die Anzahl der Möglichkeiten, festzulegen, welche k der n Versuche die Treffer sind.
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten
P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k) P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)Kumulierte Wahrscheinlichkeiten addieren einzelne Werte. Wird die Summe auf einer Seite lang, geht es mit dem Gegenereignis schneller: Die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse ergeben zusammen immer 1.
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
μ = n·p σ² = n·p·(1 − p) σ = √(n·p·(1 − p))Der Erwartungswert ist die durchschnittliche Trefferzahl auf lange Sicht. Die Standardabweichung gibt an, wie weit ein typisches Ergebnis von diesem Durchschnitt entfernt liegt.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: sechsmal Kopf bei 10 Münzwürfen
Eine faire Münze wird 10-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 6-mal Kopf und für höchstens 6-mal Kopf? Hier ist n = 10, p = 0,5 und k = 6.
- Anordnungen zählen: C(10, 6) = 10! / (6! · 4!) = 210.
- Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anordnung: 0,5⁶ · 0,5⁴ = 0,0009765625 (also 1/1024).
- Multiplizieren: P(X = 6) = 210 × 0,0009765625 = 0,205078125.
- Für „höchstens 6“ ist das Gegenereignis kürzer: P(X ≥ 7) = (C(10,7) + C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)) / 1024 = (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176/1024 = 0,171875.
- Also ist P(X ≤ 6) = 1 − 0,171875 = 0,828125.
Ergebnis: P(X = 6) = 0,205078125 (etwa 20,5 %) und P(X ≤ 6) = 0,828125 (etwa 82,8 %).
Beispiel 2: einen Test durch Raten bestehen
Ein Test besteht aus 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 4 Antwortmöglichkeiten. Ein Schüler rät bei jeder Frage. Zum Bestehen braucht er 10 richtige Antworten. Wie groß ist die Chance, dass er besteht? Hier ist n = 20 und p = 0,25; gesucht ist P(X ≥ 10).
- Erwartungswert und Streuung: μ = 20 × 0,25 = 5 richtige Antworten, σ = √(20 × 0,25 × 0,75) ≈ 1,936.
- Der einzelne Wert an der Bestehensgrenze: P(X = 10) = 184.756 × 0,25¹⁰ × 0,75¹⁰ = 0,0099222753.
- Mit dem Gegenereignis: P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0,9861355831.
Ergebnis: P(X ≥ 10) = 0,0138644169, also rund 1,4 % – im Schnitt etwa einmal in 72 Fällen. Die Bestehensgrenze von 10 liegt etwa 2,6 Standardabweichungen über dem, was Raten im Durchschnitt bringt.
Wann der Rechner zur Binomialverteilung passt
- Die Anzahl der Versuche n ist im Voraus festgelegt.
- Jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge, die Sie als Treffer und Niete bezeichnen.
- Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist bei jedem Versuch gleich.
- Die Versuche sind unabhängig: Das Ergebnis eines Versuchs ändert nichts an den Chancen eines anderen.
- Sie zählen die Anzahl der Treffer, nicht die Reihenfolge, in der sie auftreten.
Wann er nicht passt
- Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gesamtheit (zum Beispiel Karten aus einem einzigen Stapel): p ändert sich nach jeder Ziehung, deshalb ist die hypergeometrische Verteilung das richtige Modell. Macht die Stichprobe weniger als etwa 10 % der Gesamtheit aus, ist die Binomialverteilung meist eine gute Näherung.
- Ereignisse in einem Zeitraum oder auf einer Fläche ohne feste Zahl von Versuchen (Anrufe pro Stunde, Tippfehler pro Seite): Dafür ist meist die Poisson-Verteilung zuständig.
- Warten auf den ersten Treffer („Wie viele Versuche, bis …?“): Das ist eine geometrische Verteilung. Für die verwandte Frage, wie viele Versuche Sie brauchen, nutzen Sie den Rechner für mindestens einen Treffer.
Häufige Fehler
- „Mindestens“ und „mehr als“ verwechseln. P(X ≥ 3) schließt die 3 ein, P(X > 3) nicht. Ebenso entspricht „höchstens 3“ P(X ≤ 3) und „weniger als 3“ P(X < 3).
- P(X = k) verwenden, obwohl nach einer kumulierten Wahrscheinlichkeit gefragt ist. „Wie groß ist die Chance auf 3 oder weniger?“ verlangt P(X ≤ 3), also die Summe aus vier Werten.
- p als ganze Prozentzahl eingeben, etwa 30 statt 0,3. Dieser Rechner akzeptiert 30 % mit Prozentzeichen oder 0,3.
- Zu früh runden. pᵏ kann sehr klein sein; wer vor dem Multiplizieren auf zwei oder drei Stellen rundet, kann das Ergebnis spürbar verfälschen.
- Den Faktor C(n, k) vergessen – dann erhält man die Wahrscheinlichkeit eines einzigen bestimmten Pfades statt aller Pfade mit k Treffern. Der Binomialkoeffizient Rechner berechnet ihn exakt.
Häufige Fragen
Ist das ein Rechner für Binomialwahrscheinlichkeiten oder für die Binomialverteilung?
Beides. Er liefert die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert, P(X = k), und die kumulierten Wahrscheinlichkeiten, die die gesamte Verteilung beschreiben – dazu eine Tabelle aller wahrscheinlichen Werte von X.
Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer?
Mit P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Geben Sie oben n, p und k ein und lesen Sie die Zeile „P(X ≥ k)“ ab; wenn Sie „Mindestens k“ auswählen, werden die passenden Balken im Diagramm zusätzlich hervorgehoben.
Wie finde ich die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen zwei Zahlen liegt?
Wählen Sie die Option „Zwischen a und b“ und geben Sie beide Grenzen ein. Der Rechner addiert P(X = a) bis P(X = b), beide Grenzen sind also eingeschlossen. Sollen die Grenzen nicht dazugehören, verschieben Sie jede um eins nach innen.
Wie groß sind Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung?
Der Erwartungswert ist n·p, die Standardabweichung √(n·p·(1 − p)). Bei 10 fairen Münzwürfen ergibt das einen Erwartungswert von 5-mal Kopf und eine Standardabweichung von etwa 1,58.
Kann ich p als Bruch oder Prozentwert eingeben?
Ja. 1/6, 0,1667 und 16,67 % werden alle akzeptiert. Ein Bruch behält die volle Genauigkeit – praktisch bei Würfel- und Kartenaufgaben.
Wie groß darf n sein?
Bis zu 100.000 Versuche. Bei großem n zeigen Tabelle und Diagramm den Bereich um den Erwartungswert, in dem sich die Wahrscheinlichkeit konzentriert; jede kumulierte Wahrscheinlichkeit berücksichtigt trotzdem die vollständige Verteilung.