Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer
Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer bei n Versuchen berechnen, 1 − (1 − p)ⁿ, und die nötigen Versuche für 50, 90, 95 oder 99 % Sicherheit.
z. B. 0,01; 1 % oder 1/100
Benötigte Versuche für gängige Sicherheitsniveaus
| Sicherheit für mindestens einen Treffer | Benötigte Versuche |
|---|
Lösung Schritt für Schritt
Über diesen Rechner
Wenn etwas bei jedem Versuch mit 1 % Wahrscheinlichkeit eintritt – ist es dann nach 100 Versuchen sicher? Nein. Dieser Rechner beantwortet die Frage exakt: Aus der Trefferwahrscheinlichkeit p pro Versuch und der Anzahl der Versuche n berechnet er die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer, die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer und wie viele Versuche Sie für eine selbst gewählte Sicherheit brauchen.
Das hilft bei Drop-Raten in Spielen, bei der Frage, ob mindestens eine Komponente eines Systems ausfällt, bei Stichproben in der Qualitätskontrolle oder bei jeder anderen „Passiert es mindestens einmal?“-Frage mit unabhängigen Versuchen. Im Mathematikunterricht ist dieser Aufgabentyp als „Dreimal-mindestens-Aufgabe“ bekannt.
So funktioniert’s
- Geben Sie p ein, die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch – als Dezimalzahl (0,01), Prozentwert (1 %) oder Bruch (1/100).
- Geben Sie n ein, die Anzahl der Versuche.
- Ändern Sie bei Bedarf die Zielsicherheit (standardmäßig 95 %), um zu sehen, wie viele Versuche Sie dafür brauchen.
- Die Ergebnisse und die Tabelle mit gängigen Zielwerten aktualisieren sich schon während der Eingabe.
Die Formeln
Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer
P(kein Treffer) = (1 − p)ⁿJeder Versuch geht mit der Wahrscheinlichkeit 1 − p daneben. Da die Versuche unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle n danebengehen, diese Zahl n-mal mit sich selbst multipliziert.
Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer
P(mindestens ein Treffer) = 1 − (1 − p)ⁿ„Mindestens ein Treffer“ ist alles außer „kein Treffer“ – also das Gegenereignis. Das ist viel einfacher, als die Wahrscheinlichkeiten für genau 1, 2, 3, … Treffer zu addieren.
Benötigte Versuche für eine Zielsicherheit c
n = ⌈ ln(1 − c) / ln(1 − p) ⌉Lösen Sie 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c durch Logarithmieren nach n auf und runden Sie auf die nächste ganze Zahl auf, denn Bruchteile eines Versuchs gibt es nicht.
Faustregel für kleines p
P(mindestens ein Treffer) ≈ 1 − e^(−n·p) n₉₅ ≈ 3 / pBei kleinem p liegt (1 − p)ⁿ nahe bei e^(−np). Setzt man das gleich 0,05, erhält man n ≈ ln(20) / p ≈ 3 / p – die sogenannte Dreierregel (engl. „rule of three“).
Rechenbeispiele
Beispiel 1: 1 % Chance, 100 Versuche
Ein Gegenstand hat eine Drop-Rate von 1 %. Sie besiegen den Boss 100-mal. Wie groß ist die Chance, den Gegenstand mindestens einmal zu bekommen?
- P(kein Drop bei einem Versuch) = 1 − 0,01 = 0,99.
- P(kein Drop bei 100 Versuchen) = 0,99¹⁰⁰ = 0,3660323413.
- P(mindestens ein Drop) = 1 − 0,3660323413 = 0,6339676587.
- Versuche für 95 % Sicherheit: ln(0,05) / ln(0,99) = 298,07, aufgerundet 299.
Ergebnis: Etwa 63,4 % – nicht 100 %. Rund 37 % der Spieler, die es 100-mal versuchen, gehen trotzdem leer aus. Für 50 % braucht man 69 Versuche, für 95 % 299 und für 99 % 459.
Beispiel 2: eine Sechs würfeln
Wie groß ist die Chance auf mindestens eine Sechs bei 4 Würfen mit einem fairen Würfel, und wie viele Würfe ergeben eine Chance von 95 %? (Das ist die Hälfte einer klassischen Glücksspielfrage aus dem 17. Jahrhundert, die mit dem Chevalier de Méré in Verbindung gebracht wird und Pascal und Fermat zu ihren Arbeiten über die Wahrscheinlichkeitsrechnung anregte.)
- p = 1/6, die Chance auf keine Sechs bei einem Wurf ist also 5/6.
- P(keine Sechs in 4 Würfen) = (5/6)⁴ = 625/1296 = 0,4822530864.
- P(mindestens eine Sechs) = 1 − 0,4822530864 = 0,5177469136.
- Würfe für 95 %: ln(0,05) / ln(5/6) = 16,431, aufgerundet 17.
Ergebnis: 51,77 % bei 4 Würfen – knapp besser als 50 : 50. Eine Wette zu gleichen Einsätzen darauf gewinnt also etwas öfter, als sie verliert. Für eine Chance von 95 % auf mindestens eine Sechs brauchen Sie 17 Würfe.
Wann der Rechner für mindestens einen Treffer passt
- Jeder Versuch endet entweder mit einem Treffer oder ohne.
- Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist bei jedem Versuch gleich.
- Die Versuche sind unabhängig: Ein Fehlschlag macht einen Treffer beim nächsten Versuch weder wahrscheinlicher noch unwahrscheinlicher.
- Es interessiert nur, ob mindestens ein Treffer eintritt, nicht wie viele.
Wann er nicht passt
- Systeme mit „Pity“-Mechanik oder garantiertem Drop sowie alles, was mit Übung leichter wird: Hier ändert sich p von Versuch zu Versuch.
- Ziehen ohne Zurücklegen, etwa die Suche nach einem Ass in einem einzigen Kartenspiel: Jede erfolglose Ziehung verändert die Chancen der nächsten.
- Unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten bei jedem Versuch: Verwenden Sie stattdessen 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ).
Häufige Fehler
- Die Wahrscheinlichkeiten addieren. 100 Versuche × 1 % = 100 % ist falsch, denn die Ereignisse überschneiden sich; richtig ist 1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63,4 %.
- Nach 1/p Versuchen einen sicheren Treffer erwarten. 1/p ist die durchschnittliche Zahl der Versuche bis zum ersten Treffer, doch in etwa 37 % der Fälle dauert es länger (bei kleinem p).
- „Mindestens einer“ mit „genau einer“ verwechseln. Genau ein Treffer hat die Wahrscheinlichkeit n·p·(1 − p)ⁿ⁻¹, und die ist kleiner; dafür gibt es den Binomialverteilung Rechner.
- Den Prozentwert ohne Prozentzeichen eingeben – 5 statt 5 % oder 0,05.
Häufige Fragen
Warum sind 100 Versuche bei 1 % Chance kein sicherer Treffer?
Weil jeder Versuch unabhängig scheitern kann. Die Wahrscheinlichkeit, alle 100 Versuche zu verfehlen, ist 0,99¹⁰⁰ ≈ 36,6 %, die Chance auf mindestens einen Treffer also etwa 63,4 %. Keine endliche Zahl von Versuchen macht den Treffer sicher.
Wie viele Versuche brauche ich bei einer Chance von 1 zu X?
Bei einer kleinen Chance von 1 zu X brauchen Sie etwa 0,69·X Versuche für 50 %, 2,3·X für 90 %, 3·X für 95 % und 4,6·X für 99 %. Der Rechner liefert die exakte ganze Zahl für Ihr p.
Ist das dasselbe wie P(X ≥ 1) bei einer Binomialverteilung?
Ja. P(mindestens ein Treffer) ist P(X ≥ 1) für eine Binomialverteilung mit n Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit p, also 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
Was, wenn die Wahrscheinlichkeit bei jedem Versuch anders ist?
Multiplizieren Sie die einzelnen Fehlschlagwahrscheinlichkeiten und ziehen Sie das Produkt von 1 ab: P(mindestens ein Treffer) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ). Die Versuche müssen dabei weiterhin unabhängig sein.
Wie viele Versuche braucht man im Schnitt bis zum ersten Treffer?
Im Durchschnitt 1/p Versuche (das ist der Erwartungswert der geometrischen Verteilung). Bei 1 % Chance sind das 100 Versuche – obwohl 100 Versuche nur eine Trefferchance von etwa 63 % ergeben.