Calculadora de coeficiente binomial
Calcula el coeficiente binomial C(n, r) exacto, las permutaciones nPr y los factoriales n!, r! y (n − r)!, con solución paso a paso para n hasta 1000.
Solución paso a paso
Acerca de esta calculadora
El coeficiente binomial C(n, r), que se lee «n sobre r», es el número de formas de elegir r elementos de entre n elementos distintos cuando el orden no importa. Coincide con el elemento r de la fila n del triángulo de Pascal, con el coeficiente de xʳ en el desarrollo de (1 + x)ⁿ y con el factor C(n, k) de la fórmula de la probabilidad binomial.
Esta calculadora usa aritmética exacta con números enteros, así que no se redondea nada: C(1000, 500), por ejemplo, tiene 300 cifras y se muestran todas. También da el número de permutaciones nPr (cuando el orden sí importa) y los tres factoriales que aparecen en la fórmula.
Cómo usarla
- Introduce n, el número total de elementos (un número entero de 0 a 1000).
- Introduce r, el número de elementos que eliges (de 0 a n).
- Consulta C(n, r), nPr y los factoriales. Los números largos se pueden copiar con el botón Copiar.
- La sección paso a paso muestra el atajo utilizado: se simplifica el factorial más grande para que solo haya que multiplicar r factores pequeños.
Las fórmulas
Combinaciones (el orden no importa)
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)n! cuenta todas las ordenaciones posibles de los n elementos. Al dividir entre r! y (n − r)! se eliminan las ordenaciones dentro del grupo elegido y dentro del grupo restante, que no dan lugar a una selección distinta.
Atajo multiplicativo
C(n, r) = [n · (n − 1) · … · (n − r + 1)] / r!El (n − r)! se simplifica, así que solo hacen falta r factores en el numerador. Usar el menor de r y n − r acorta el cálculo, porque C(n, r) = C(n, n − r).
Permutaciones (el orden importa)
P(n, r) = n! / (n − r)! = C(n, r) · r!Cada selección no ordenada de r elementos puede ordenarse de r! maneras, así que hay r! veces más permutaciones que combinaciones.
Regla de Pascal
C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r)O bien un elemento concreto se elige (y entonces se eligen r − 1 de los otros n − 1), o bien no se elige (y se eligen los r entre los otros n − 1). Por eso cada número del triángulo de Pascal es la suma de los dos que tiene encima.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: manos de póquer de cinco cartas
¿Cuántas manos distintas de 5 cartas se pueden repartir con una baraja francesa de 52 cartas? El orden en que recibes las cartas no importa, así que se trata de C(52, 5).
- Multiplica los cinco primeros factores: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200. Esto también es P(52, 5), el número de repartos ordenados.
- Divide entre 5! = 120 para eliminar las ordenaciones de las cinco cartas.
- 311.875.200 / 120 = 2.598.960.
Respuesta: Hay C(52, 5) = 2.598.960 manos posibles, así que la probabilidad de recibir una mano concreta es de 1 entre 2.598.960.
Ejemplo 2: una lotería de 6 números entre 49
Una lotería extrae 6 números del 1 al 49. ¿Cuántas combinaciones distintas hay y qué probabilidad tiene un boleto de acertar los seis?
- Factores del numerador: 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 = 10.068.347.520.
- Divide entre 6! = 720: 10.068.347.520 / 720 = 13.983.816.
- Probabilidad de que gane un boleto = 1 / 13.983.816 ≈ 7,15 × 10⁻⁸.
Respuesta: C(49, 6) = 13.983.816. Con un solo boleto, la probabilidad de acertar los seis números es de aproximadamente 7,2 × 10⁻⁸.
Cuándo usar la calculadora de coeficiente binomial
- Usa C(n, r) cuando eliges un grupo y el orden dentro del grupo no importa: comités, manos de cartas, números de lotería, qué preguntas de un examen se responden correctamente.
- Usa nPr cuando el orden importa: puestos de llegada en una carrera, códigos PIN sin dígitos repetidos, personas sentadas en sillas numeradas.
- Los elementos deben ser distintos y cada uno puede elegirse una vez como máximo (sin repetición).
Cuándo no se aplica
- Elecciones con repetición (por ejemplo, bolas de helado en las que los sabores pueden repetirse): el recuento es C(n + r − 1, r), que puedes obtener aquí introduciendo n + r − 1 en lugar de n.
- Ordenaciones de letras con letras repetidas (como MISSISSIPPI): eso requiere el coeficiente multinomial n! / (a! · b! · …).
Errores frecuentes
- Usar nPr cuando el orden no importa. Para un comité de 3 personas elegidas entre 10, P(10, 3) = 720 cuenta cada comité 3! = 6 veces; la respuesta correcta es C(10, 3) = 120.
- Calcular los factoriales completos con una calculadora normal. 171! es mayor de lo que cabe en un número de coma flotante ordinario, así que n! / (r!(n − r)!) se desborda mucho antes de que C(n, r) sea grande. Simplifica primero o usa aritmética exacta, como hace esta herramienta.
- Olvidar los casos límite: C(n, 0) = C(n, n) = 1 porque 0! = 1, y C(n, r) = 0 cuando r > n.
- Redondear un resultado grande escrito en notación científica y usarlo después en otros recuentos exactos. Para convertir un recuento en la probabilidad de k éxitos, usa la calculadora de distribución binomial.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa nCr?
nCr es el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r, el mismo número que el coeficiente binomial C(n, r) o «n sobre r». Por ejemplo, 5C2 = 10.
¿Qué diferencia hay entre nCr y nPr?
nCr cuenta selecciones en las que el orden no importa; nPr cuenta ordenaciones en las que sí importa. Como nPr = nCr × r!, nPr nunca es menor que nCr.
¿Por qué 0! es igual a 1?
Hay exactamente una forma de ordenar cero elementos: no hacer nada. Definir 0! = 1 también permite que fórmulas como C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1 funcionen sin casos especiales.
¿Por qué se llama coeficiente binomial?
Porque C(n, r) es el coeficiente de xʳyⁿ⁻ʳ al desarrollar el binomio (x + y)ⁿ. Por ejemplo, (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³, y 1, 3, 3, 1 son C(3, 0) a C(3, 3).
¿Qué relación tiene nCr con la distribución binomial?
En P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, el coeficiente cuenta cuántas secuencias distintas de n ensayos contienen exactamente k éxitos. Todas esas secuencias tienen la misma probabilidad, pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
¿Cuál es el valor máximo de n que admite esta calculadora?
Hasta n = 1000. Los resultados son enteros exactos; 1000! tiene 2568 cifras, y la página las muestra todas junto con el número de cifras.