Calculadora de probabilidad de al menos un éxito
Probabilidad de al menos un éxito en n intentos independientes, 1 − (1 − p)ⁿ, y cuántos intentos necesitas para llegar al 50%, 90%, 95% o 99% de confianza.
p. ej.: 0,01; 1% o 1/100
Intentos necesarios para niveles de confianza habituales
| Confianza de al menos un éxito | Intentos necesarios |
|---|
Solución paso a paso
Acerca de esta calculadora
Si algo tiene un 1% de probabilidad de ocurrir cada vez que lo intentas, ¿intentarlo 100 veces lo convierte en seguro? No. Esta calculadora responde a esa pregunta con exactitud: a partir de la probabilidad p de éxito en un intento y del número de intentos n, te da la probabilidad de conseguir al menos un éxito, la de no conseguir ninguno y cuántos intentos necesitas para alcanzar el nivel de confianza que elijas.
Resulta útil para calcular la probabilidad de que caiga un objeto en un videojuego, la de que falle al menos un componente de un sistema, el muestreo en control de calidad o cualquier pregunta del tipo «¿pasará al menos una vez?» en la que los intentos sean independientes.
Cómo usarla
- Introduce p, la probabilidad de éxito en un solo intento, como decimal (0,01), porcentaje (1%) o fracción (1/100).
- Introduce n, el número de intentos.
- Si quieres, cambia la confianza objetivo (95% por defecto) para ver cuántos intentos necesitarías para alcanzarla.
- Los resultados y la tabla de objetivos habituales se actualizan mientras escribes.
Las fórmulas
Probabilidad de ningún éxito
P(ninguno) = (1 − p)ⁿCada intento falla con probabilidad 1 − p. Como los intentos son independientes, la probabilidad de que fallen los n es ese número multiplicado por sí mismo n veces.
Probabilidad de al menos un éxito
P(al menos uno) = 1 − (1 − p)ⁿ«Al menos un éxito» es todo salvo «ningún éxito», así que es el complemento. Es mucho más sencillo que sumar las probabilidades de exactamente 1, 2, 3… éxitos.
Intentos necesarios para una confianza objetivo c
n = ⌈ ln(1 − c) / ln(1 − p) ⌉Despeja n en 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c tomando logaritmos y redondea al siguiente número entero, porque no se puede hacer una fracción de intento.
Regla rápida para p pequeño
P(al menos uno) ≈ 1 − e^(−n·p) n₉₅ ≈ 3 / pCuando p es pequeño, (1 − p)ⁿ se aproxima a e^(−np). Igualarlo a 0,05 da n ≈ ln(20) / p ≈ 3 / p, la llamada «regla del tres».
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un 1% de probabilidad, 100 intentos
Un objeto tiene un 1% de probabilidad de aparecer. Derrotas al jefe 100 veces. ¿Qué probabilidad tienes de conseguir el objeto al menos una vez?
- P(no aparece en un intento) = 1 − 0,01 = 0,99.
- P(no aparece en 100 intentos) = 0,99¹⁰⁰ = 0,3660323413.
- P(aparece al menos una vez) = 1 − 0,3660323413 = 0,6339676587.
- Intentos para un 95% de confianza: ln(0,05) / ln(0,99) = 298,07, que se redondea a 299.
Respuesta: Aproximadamente un 63,4%, no un 100%. Alrededor del 37% de los jugadores que lo intenten 100 veces seguirán sin nada. Llegar al 50% requiere 69 intentos; al 95%, 299, y al 99%, 459.
Ejemplo 2: sacar un seis
¿Qué probabilidad hay de sacar al menos un seis en 4 tiradas de un dado equilibrado, y cuántas tiradas dan un 95% de probabilidad? (Es la mitad de un célebre problema de apuestas del siglo XVII asociado al caballero de Méré, que impulsó los trabajos de Pascal y Fermat sobre la probabilidad).
- p = 1/6, así que la probabilidad de no sacar un seis en una tirada es 5/6.
- P(ningún seis en 4 tiradas) = (5/6)⁴ = 625/1296 = 0,4822530864.
- P(al menos un seis) = 1 − 0,4822530864 = 0,5177469136.
- Tiradas para un 95%: ln(0,05) / ln(5/6) = 16,431, que se redondea a 17.
Respuesta: Un 51,77% con 4 tiradas, apenas por encima de la mitad, así que una apuesta a la par sobre este resultado gana algo más a menudo de lo que pierde. Necesitas 17 tiradas para tener un 95% de probabilidad de sacar al menos un seis.
Cuándo usar la calculadora de probabilidad de al menos un éxito
- Cada intento sale bien o sale mal.
- La probabilidad de éxito p es la misma en todos los intentos.
- Los intentos son independientes: fallar una vez no hace que el siguiente intento tenga más ni menos probabilidades de éxito.
- Solo te interesa si se produce al menos un éxito, no cuántos.
Cuándo no se aplica
- Sistemas con mecánicas de «pity» o de botín garantizado, o cualquier cosa que se vuelva más fácil con la práctica: p cambia de un intento a otro.
- Extracciones sin reemplazo, como buscar un as en una sola baraja: cada extracción fallida cambia las probabilidades de la siguiente.
- Probabilidades distintas en cada intento: en ese caso, usa 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ).
Errores frecuentes
- Sumar las probabilidades. 100 intentos × 1% = 100% es incorrecto: las probabilidades se solapan, y la respuesta correcta es 1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63,4%.
- Esperar un éxito garantizado tras 1/p intentos. 1/p es el número medio de intentos hasta el primer éxito, pero aproximadamente el 37% de las veces se tarda más (cuando p es pequeño).
- Confundir «al menos uno» con «exactamente uno». La probabilidad de exactamente uno es n·p·(1 − p)ⁿ⁻¹, que es menor; para eso, usa la calculadora de distribución binomial.
- Introducir el porcentaje sin el signo: 5 en lugar de 5% o 0,05.
Preguntas frecuentes
¿Por qué 100 intentos con un 1% de probabilidad no garantizan el éxito?
Porque cada intento puede fallar de forma independiente. La probabilidad de fallar los 100 es 0,99¹⁰⁰ ≈ 36,6%, así que la probabilidad de al menos un éxito es de aproximadamente un 63,4%. Ningún número finito de intentos lo hace seguro.
¿Cuántos intentos necesito para una probabilidad de 1 entre X?
Para una probabilidad pequeña de 1 entre X, necesitas unos 0,69·X intentos para tener un 50% de probabilidad, 2,3·X para un 90%, 3·X para un 95% y 4,6·X para un 99%. La calculadora te da el número entero exacto para tu p.
¿Es lo mismo que P(X ≥ 1) en una distribución binomial?
Sí. P(al menos un éxito) es P(X ≥ 1) en una distribución binomial con n ensayos y probabilidad p, que es igual a 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
¿Y si la probabilidad es distinta en cada intento?
Multiplica las probabilidades de fallo de cada intento y resta el resultado de 1: P(al menos uno) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ). Los intentos tienen que seguir siendo independientes.
¿Cuál es el número esperado de intentos hasta el primer éxito?
De media, 1/p intentos (es la media de la distribución geométrica). Para un 1% de probabilidad son 100 intentos, aunque 100 intentos solo dan aproximadamente un 63% de probabilidad de éxito.