Calculadora de distribución binomial
Calculadora binomial gratuita: obtén P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) e intervalos, además de media, varianza, tabla, gráfico y solución paso a paso.
p. ej.: 0,25; 25% o 1/4
Solución paso a paso
Tabla de probabilidades
| x | P(X = x) | P(X ≤ x) | P(X ≥ x) |
|---|
Acerca de esta calculadora
La distribución binomial describe el número de éxitos X en un número fijo de ensayos n, cuando todos los ensayos tienen la misma probabilidad de éxito p y no se influyen entre sí. Ejemplos clásicos son el número de caras al lanzar una moneda 10 veces, el número de piezas defectuosas en un lote de 50 o el número de respuestas acertadas por azar en un examen tipo test.
Introduce n, p y k arriba. La calculadora te da la probabilidad de obtener exactamente k éxitos y las cuatro probabilidades acumuladas (menos de, como máximo, más de, al menos), la probabilidad de caer entre dos valores, la media, la varianza y la desviación estándar, una tabla de probabilidades, un gráfico y la solución desarrollada con tus propios números sustituidos en la fórmula.
Todos los resultados se calculan en tu navegador directamente con la fórmula binomial —no con una aproximación normal ni con una tabla impresa— para cualquier n entre 1 y 100.000.
Cómo usarla
- Introduce el número de ensayos n (un número entero).
- Introduce la probabilidad de éxito en un solo ensayo, p. Puedes escribirla como decimal (0,25), como porcentaje (25%) o como fracción (1/4).
- Introduce el número de éxitos k que te interesa.
- Elige qué suceso resaltar —por ejemplo, «Al menos k»— o selecciona «Entre a y b» e introduce los dos límites.
- Consulta los resultados, la tabla y el gráfico. Se actualizan mientras escribes, y la dirección de la página también, así que puedes guardarla en marcadores o compartirla con tus datos exactos.
Las fórmulas
Probabilidad de exactamente k éxitos
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏpᵏ es la probabilidad de que k ensayos concretos salgan todos bien, y (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, la de que los n − k restantes fallen todos. C(n, k) cuenta de cuántas formas distintas pueden ordenarse esos éxitos, así que multiplica la probabilidad de una secuencia concreta por el número de secuencias de ese tipo.
Coeficiente binomial
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)También se escribe ⁿCₖ o se lee «n sobre k»: es el número de formas de elegir cuáles de los n ensayos son los k éxitos.
Probabilidades acumuladas
P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k) P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)Las probabilidades acumuladas suman términos individuales. Cuando la suma por un lado es larga, es más rápido usar el complemento: las probabilidades de todos los resultados posibles siempre suman 1.
Media, varianza y desviación estándar
μ = n·p σ² = n·p·(1 − p) σ = √(n·p·(1 − p))La media es el número medio de éxitos a largo plazo. La desviación estándar mide cuánto se aleja un resultado típico de esa media.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: seis caras en 10 lanzamientos de una moneda
Se lanza una moneda equilibrada 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 6 caras? ¿Y la de obtener como máximo 6? Aquí n = 10, p = 0,5 y k = 6.
- Cuenta las ordenaciones posibles: C(10, 6) = 10! / (6! · 4!) = 210.
- Probabilidad de una ordenación concreta: 0,5⁶ · 0,5⁴ = 0,0009765625 (es decir, 1/1024).
- Multiplica: P(X = 6) = 210 × 0,0009765625 = 0,205078125.
- Para «como máximo 6», el complemento es más corto: P(X ≥ 7) = (C(10,7) + C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)) / 1024 = (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176/1024 = 0,171875.
- Por tanto, P(X ≤ 6) = 1 − 0,171875 = 0,828125.
Respuesta: P(X = 6) = 0,205078125 (aproximadamente un 20,5%) y P(X ≤ 6) = 0,828125 (aproximadamente un 82,8%).
Ejemplo 2: aprobar un test respondiendo al azar
Un test tiene 20 preguntas con 4 opciones cada una. Un estudiante responde todas al azar y necesita 10 aciertos para aprobar. ¿Qué probabilidad tiene de aprobar? Aquí n = 20, p = 0,25 y buscamos P(X ≥ 10).
- Media y dispersión: μ = 20 × 0,25 = 5 respuestas correctas, σ = √(20 × 0,25 × 0,75) ≈ 1,936.
- El término correspondiente al aprobado justo: P(X = 10) = 184.756 × 0,25¹⁰ × 0,75¹⁰ = 0,0099222753.
- Usa el complemento: P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0,9861355831.
Respuesta: P(X ≥ 10) = 0,0138644169, aproximadamente un 1,4%: más o menos 1 posibilidad entre 72. Exigir 10 aciertos supone situar el aprobado unas 2,6 desviaciones estándar por encima de lo que se consigue, de media, respondiendo al azar.
Cuándo usar la calculadora de distribución binomial
- Hay un número fijo de ensayos n, decidido de antemano.
- Cada ensayo tiene exactamente dos resultados posibles, que llamas éxito y fracaso.
- La probabilidad de éxito p es la misma en todos los ensayos.
- Los ensayos son independientes: el resultado de uno no cambia las probabilidades de otro.
- Cuentas cuántos éxitos hay, no en qué orden se producen.
Cuándo no se aplica
- Extracciones sin reemplazo de un grupo pequeño (por ejemplo, cartas de una misma baraja): p cambia tras cada extracción, así que el modelo adecuado es la distribución hipergeométrica. Si la muestra no supera aproximadamente el 10% de la población, la binomial suele ser una buena aproximación.
- Contar sucesos en un intervalo de tiempo o de espacio sin un número fijo de ensayos (llamadas por hora, erratas por página): eso suele ser una distribución de Poisson.
- Esperar al primer éxito («¿cuántos intentos hacen falta hasta…?»): eso es una distribución geométrica. Para la pregunta relacionada de cuántos intentos necesitas, consulta la calculadora de probabilidad de al menos un éxito.
Errores frecuentes
- Confundir «al menos» con «más de». P(X ≥ 3) incluye el 3; P(X > 3), no. Del mismo modo, «como máximo 3» es P(X ≤ 3) y «menos de 3» es P(X < 3).
- Usar P(X = k) cuando la pregunta es acumulada. «¿Qué probabilidad hay de obtener 3 o menos?» requiere P(X ≤ 3), que es la suma de cuatro términos.
- Escribir p como un porcentaje sin el signo, por ejemplo 30 en lugar de 0,3. Esta calculadora acepta 30% con el signo de porcentaje, o bien 0,3.
- Redondear demasiado pronto. pᵏ puede ser muy pequeño; redondearlo a dos o tres cifras antes de multiplicar puede cambiar el resultado de forma apreciable.
- Olvidar el factor C(n, k): sin él obtienes la probabilidad de una secuencia concreta, no la de cualquier secuencia con k éxitos. La calculadora de coeficiente binomial lo calcula de forma exacta.
Preguntas frecuentes
¿Es una calculadora de probabilidad binomial o de distribución binomial?
Las dos cosas. Da la probabilidad de un valor concreto, P(X = k), y las probabilidades acumuladas que describen toda la distribución, junto con una tabla de todos los valores probables de X.
¿Cómo calculo la probabilidad de obtener al menos k éxitos?
Usa P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Introduce n, p y k arriba y consulta la fila «P(X ≥ k)»; si seleccionas «Al menos k», esas barras también se resaltan en el gráfico.
¿Cómo hallo la probabilidad de que X esté entre dos números?
Elige la opción «Entre a y b» e introduce los dos límites. La calculadora suma desde P(X = a) hasta P(X = b), así que ambos límites quedan incluidos. Para un intervalo estricto, mueve cada límite una unidad hacia dentro.
¿Cuáles son la media y la desviación estándar de una distribución binomial?
La media es n·p y la desviación estándar es √(n·p·(1 − p)). Para 10 lanzamientos de una moneda equilibrada, eso da una media de 5 caras y una desviación estándar de aproximadamente 1,58.
¿Puedo introducir p como fracción o como porcentaje?
Sí. Se aceptan 1/6, 0,1667 y 16,67%. Una fracción conserva toda la precisión, lo que resulta práctico en problemas de dados y de cartas.
¿Qué valor máximo puede tener n?
Hasta 100.000 ensayos. Para valores grandes de n, la tabla y el gráfico muestran el rango alrededor de la media donde se concentra la probabilidad, y todos los valores acumulados siguen teniendo en cuenta la distribución completa.