Calculadora de aproximación normal a la binomial
Compara la probabilidad binomial exacta con la aproximación normal: corrección por continuidad, puntuación z, regla np ≥ 5 y error exacto de la estimación.
p. ej.: 0,3; 30% o 3/10
Solución paso a paso
Acerca de esta calculadora
Para valores grandes de n, la distribución binomial se parece mucho a una curva normal (en forma de campana) con la misma media y la misma desviación estándar. Antes de los ordenadores, esto permitía estimar probabilidades binomiales con una tabla de la normal, y sigue siendo la base de la prueba z habitual para una proporción.
Esta calculadora muestra las dos respuestas una al lado de la otra: la probabilidad binomial exacta y la aproximación normal con y sin corrección por continuidad. También muestra la puntuación z, comprueba la regla práctica habitual (np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5) e indica cuánto se aleja la aproximación del valor exacto, para que veas cuándo es seguro usar el atajo.
Cómo usarla
- Introduce n, p y k.
- Elige el suceso: P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k) o P(X = k).
- Consulta la probabilidad exacta, la aproximación, el límite corregido, la puntuación z y el error.
- Fíjate en el indicador de la regla práctica. Si no se cumple, quédate con el valor exacto.
Las fórmulas
Misma media y misma desviación estándar
μ = n·p σ = √(n·p·(1 − p))La curva normal que sirve de aproximación usa exactamente la media y la desviación estándar de la binomial.
Corrección por continuidad
P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0,5) P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0,5) P(X = k) ≈ P(k − 0,5 < Y < k + 0,5)La binomial solo toma valores enteros, y cada uno es como una barra de anchura 1 centrada en k. Desplazar el límite media unidad hace que la curva continua cubra la barra entera en lugar de cortarla por la mitad.
Puntuación z
z = (x − μ) / σ después P(Y < x) = Φ(z)Tipifica el límite corregido x y busca la probabilidad acumulada de la normal estándar, Φ(z). Para sucesos del tipo «mayor que», usa 1 − Φ(z).
Regla práctica
n·p ≥ 5 y n·(1 − p) ≥ 5Los dos recuentos esperados deben ser lo bastante grandes para que la distribución no quede aplastada contra 0 o contra n. Algunos libros de texto usan 10 en lugar de 5 para una comprobación más estricta.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: 55 caras o menos en 100 lanzamientos
Se lanza una moneda equilibrada 100 veces. Estima P(X ≤ 55) con la aproximación normal y compárala con el resultado exacto.
- μ = 100 × 0,5 = 50, σ = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5. Comprobación de la regla: np = 50 y n(1 − p) = 50, ambos ≥ 5.
- Corrección por continuidad: P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55,5).
- z = (55,5 − 50) / 5 = 1,1, así que la aproximación es Φ(1,1) = 0,864334.
- Binomial exacta: P(X ≤ 55) = 0,864373.
- Sin la corrección, z = (55 − 50) / 5 = 1 y Φ(1) = 0,841345, un resultado claramente peor.
Respuesta: La aproximación corregida se desvía solo 4 × 10⁻⁵; sin la corrección, el error es de aproximadamente 0,023.
Ejemplo 2: cuando no se cumple la regla práctica
Un proceso produce un 10% de piezas defectuosas. En una muestra de 20, ¿cuánto vale P(X ≤ 1)?
- μ = 20 × 0,1 = 2, σ = √(20 × 0,1 × 0,9) ≈ 1,342. Comprobación de la regla: np = 2, que es menor que 5.
- Límite corregido: 1,5; z = (1,5 − 2) / 1,342 = -0,3727; aproximación: Φ(z) = 0,354694.
- Binomial exacta: P(X ≤ 1) = 0,9²⁰ + 20 × 0,1 × 0,9¹⁹ = 0,391747.
Respuesta: La aproximación se desvía 0,037 (aproximadamente un 9% del valor real). Cuando np es pequeño, la distribución es asimétrica y una campana simétrica se ajusta mal: aquí conviene usar el valor exacto.
Cuándo usar la calculadora de aproximación normal a la binomial
- La situación es binomial: n fijo, dos resultados posibles, p constante y ensayos independientes.
- n·p y n·(1 − p) valen al menos 5 (o 10, si se sigue un criterio más estricto).
- Necesitas una estimación rápida a mano, estás aprendiendo cómo funcionan las pruebas z para proporciones o quieres comprobar la respuesta de un libro de texto.
- Si tienes software a mano, la probabilidad binomial exacta siempre es al menos igual de precisa; la aproximación es una comodidad, no una mejora. Para valores grandes de n con muchos éxitos, la calculadora de distribución binomial calcula la suma exacta directamente.
Cuándo no se aplica
- n pequeño o p extremo (cercano a 0 o a 1). Cuando n es grande pero p es pequeño, la distribución de Poisson con media n·p suele ser una aproximación mejor.
- Probabilidades muy alejadas en las colas, como P(X ≥ 90) en 100 lanzamientos de una moneda. El error absoluto puede ser minúsculo, pero el relativo puede ser enorme.
Errores frecuentes
- Olvidar la corrección por continuidad o desplazar el límite en el sentido equivocado. «Como máximo k» usa k + 0,5; «al menos k» usa k − 0,5; «menos de k» equivale a «como máximo k − 1», así que usa k − 0,5.
- Usar la varianza n·p·(1 − p) en la puntuación z, donde corresponde la desviación estándar √(n·p·(1 − p)).
- Aplicar la aproximación cuando n·p o n·(1 − p) son pequeños, porque puede fallar mucho (mira el ejemplo 2). La calculadora de distribución binomial da el valor exacto para cualquier n de hasta 100.000.
- Aproximar P(X = k) sin corrección: una curva continua da exactamente 0 para un solo punto, así que hay que usar el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la corrección por continuidad?
Un ajuste de 0,5 en el límite cuando una curva normal continua aproxima una distribución discreta. Cada número entero k se trata como el intervalo de k − 0,5 a k + 0,5, así que P(X ≤ k) pasa a ser P(Y < k + 0,5).
¿Cuándo puedo usar la aproximación normal a la binomial?
Cuando n·p ≥ 5 y n·(1 − p) ≥ 5 (algunos cursos exigen 10). En esas condiciones, la binomial es lo bastante simétrica como para que la campana se ajuste bien.
¿Qué precisión tiene la aproximación normal?
Depende de n, de p y del suceso. Para 100 lanzamientos de una moneda equilibrada, P(X ≤ 55) se desvía aproximadamente 4 × 10⁻⁵ con la corrección. Para n = 20 y p = 0,1, el error es de aproximadamente 0,037. La calculadora muestra el error exacto para tus datos.
¿Debo sumar 0,5 o restar 0,5?
Amplía la región para que incluya la barra completa de cada valor que te interesa. Para X ≤ k o X > k, el límite es k + 0,5; para X ≥ k o X < k, es k − 0,5.
¿Para qué sirve la aproximación si se puede obtener el resultado exacto?
Sobre todo para calcular a mano, para los exámenes y porque muchas pruebas estadísticas para proporciones se basan en ella. Cuando puedes calcular la probabilidad binomial exacta, como hace esta página, es preferible quedarse con el valor exacto.