Approximation normale de la loi binomiale
Comparez une probabilité binomiale exacte à son approximation par la loi normale : correction de continuité, score z, règle np ≥ 5 et erreur exacte affichée.
ex. 0,3 ; 30 % ou 3/10
Solution détaillée
À propos de ce calculateur
Pour un grand n, une loi binomiale ressemble beaucoup à une loi normale (courbe en cloche) de même espérance et de même écart type : c’est le théorème de Moivre-Laplace. Avant les ordinateurs, on pouvait ainsi estimer des probabilités binomiales à l’aide d’une table de la loi normale, et c’est encore la base du test z classique sur une proportion.
Ce calculateur affiche les deux réponses côte à côte : la probabilité binomiale exacte et l’approximation normale, avec et sans correction de continuité. Il indique aussi le score z, vérifie la règle empirique habituelle (np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5) et mesure l’écart entre l’approximation et la valeur exacte, pour que vous sachiez quand le raccourci est fiable.
Mode d’emploi
- Saisissez n, p et k.
- Choisissez l’événement : P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k) ou P(X = k).
- Lisez la probabilité exacte, l’approximation, la borne corrigée et le score z, ainsi que l’erreur.
- Vérifiez l’indicateur de la règle empirique. Si elle n’est pas respectée, fiez-vous à la valeur exacte.
Les formules
Même espérance, même écart type
μ = n·p σ = √(n·p·(1 − p))La loi normale utilisée pour l’approximation reprend exactement l’espérance et l’écart type de la loi binomiale.
Correction de continuité
P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0,5) P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0,5) P(X = k) ≈ P(k − 0,5 < Y < k + 0,5)La loi binomiale ne prend que des valeurs entières, et chacune correspond à une barre de largeur 1 centrée sur k. Décaler la borne d’une demi-unité permet à la courbe continue de couvrir la barre entière au lieu de la couper en deux.
Score z
z = (x − μ) / σ puis P(Y < x) = Φ(z)Centrez et réduisez la borne corrigée x, puis lisez la valeur Φ(z) de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Pour les événements « supérieur à », utilisez 1 − Φ(z).
Règle empirique
n·p ≥ 5 et n·(1 − p) ≥ 5Les deux effectifs attendus doivent être assez grands pour que la loi ne soit pas écrasée contre 0 ou n. Certains manuels exigent 10 au lieu de 5 pour un critère plus strict, et beaucoup de cours ajoutent la condition n ≥ 30.
Exemples corrigés
Exemple 1 : au plus 55 « pile » sur 100 lancers
On lance 100 fois une pièce équilibrée. Estimez P(X ≤ 55) avec l’approximation normale et comparez le résultat avec la valeur exacte.
- μ = 100 × 0,5 = 50, σ = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5. Vérification : np = 50 et n(1 − p) = 50, tous deux ≥ 5.
- Correction de continuité : P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55,5).
- z = (55,5 − 50) / 5 = 1,1, donc l’approximation vaut Φ(1,1) = 0,864334.
- Valeur binomiale exacte : P(X ≤ 55) = 0,864373.
- Sans correction, z = (55 − 50) / 5 = 1 et Φ(1) = 0,841345 – nettement moins bon.
Réponse : L’approximation corrigée ne s’écarte que de 4 × 10⁻⁵ ; sans la correction, l’erreur atteint environ 0,023.
Exemple 2 : quand la règle empirique n’est pas respectée
Un procédé produit 10 % de pièces défectueuses. Dans un échantillon de 20 pièces, que vaut P(X ≤ 1) ?
- μ = 20 × 0,1 = 2, σ = √(20 × 0,1 × 0,9) ≈ 1,342. Vérification : np = 2, ce qui est inférieur à 5.
- Borne corrigée 1,5, z = (1,5 − 2) / 1,342 = -0,3727, approximation Φ(z) = 0,354694.
- Valeur binomiale exacte : P(X ≤ 1) = 0,9²⁰ + 20 × 0,1 × 0,9¹⁹ = 0,391747.
Réponse : L’approximation s’écarte de 0,037 (environ 9 % de la vraie valeur). Quand np est petit, la loi est asymétrique et une courbe en cloche symétrique s’y ajuste mal : utilisez ici la valeur exacte.
Quand utiliser le calculateur d’approximation normale
- La situation est binomiale : n fixé, deux issues, p constant et épreuves indépendantes.
- n·p et n·(1 − p) valent tous deux au moins 5 (ou 10 pour un critère plus strict).
- Vous avez besoin d’une estimation rapide à la main, vous apprenez le fonctionnement des tests z sur une proportion, ou vous voulez vérifier le corrigé d’un manuel.
- Si vous disposez d’un logiciel, la probabilité binomiale exacte est toujours au moins aussi précise : l’approximation est une commodité, pas une amélioration. Pour un grand n avec beaucoup de succès, la calculatrice de loi binomiale calcule directement la somme exacte.
Quand il ne s’applique pas
- Petit n ou p extrême (proche de 0 ou de 1). Quand n est grand mais p petit, la loi de Poisson de paramètre n·p est généralement une meilleure approximation.
- Les probabilités situées très loin dans les queues de distribution, comme P(X ≥ 90) pour 100 lancers de pièce. L’erreur absolue peut être minime, mais l’erreur relative énorme.
Erreurs fréquentes
- Oublier la correction de continuité, ou décaler la borne dans le mauvais sens. « Au plus k » utilise k + 0,5 ; « au moins k » utilise k − 0,5 ; « moins de k » équivaut à « au plus k − 1 » et utilise donc k − 0,5.
- Utiliser la variance n·p·(1 − p) dans le score z à la place de l’écart type √(n·p·(1 − p)).
- Appliquer l’approximation quand n·p ou n·(1 − p) est petit : elle peut alors être très éloignée de la valeur réelle (voir l’exemple 2). La calculatrice de loi binomiale donne la valeur exacte pour tout n jusqu’à 100 000.
- Approcher P(X = k) sans correction : une courbe continue donne exactement 0 pour un point isolé, il faut donc utiliser l’intervalle de k − 0,5 à k + 0,5.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que la correction de continuité ?
Un ajustement de 0,5 appliqué à la borne lorsqu’une loi normale, continue, sert à approcher une loi discrète. Chaque entier k est traité comme l’intervalle de k − 0,5 à k + 0,5, si bien que P(X ≤ k) devient P(Y < k + 0,5).
Quand peut-on approcher une loi binomiale par une loi normale ?
Lorsque n·p ≥ 5 et n·(1 − p) ≥ 5 (certains cours exigent 10, et ajoutent souvent n ≥ 30). Dans ces conditions, la loi binomiale est assez proche d’une loi symétrique pour que la courbe en cloche s’y ajuste bien.
Quelle est la précision de l’approximation normale ?
Elle dépend de n, de p et de l’événement. Pour 100 lancers d’une pièce équilibrée, P(X ≤ 55) s’écarte d’environ 4 × 10⁻⁵ avec la correction. Pour n = 20 et p = 0,1, l’erreur est d’environ 0,037. Le calculateur affiche l’erreur exacte pour vos valeurs.
Faut-il utiliser + 0,5 ou − 0,5 ?
Élargissez la zone pour inclure la barre entière de chaque valeur recherchée. Pour X ≤ k ou X > k, la borne est k + 0,5 ; pour X ≥ k ou X < k, elle est k − 0,5.
Pourquoi utiliser l’approximation si la valeur exacte est disponible ?
Surtout pour les calculs à la main, les examens, et parce que de nombreux tests statistiques sur les proportions reposent sur elle. Quand vous pouvez calculer la probabilité binomiale exacte, comme sur cette page, préférez la valeur exacte.