Calculatrice loi binomiale
Calcul de loi binomiale en ligne : P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) et intervalles, avec espérance, variance, tableau, graphique et solution détaillée.
ex. 0,25 ; 25 % ou 1/4
Solution détaillée
Tableau des probabilités
| x | P(X = x) | P(X ≤ x) | P(X ≥ x) |
|---|
À propos de ce calculateur
La loi binomiale décrit le nombre de succès X obtenus au cours d’un nombre fixe n d’épreuves, lorsque chaque épreuve a la même probabilité de succès p et que les épreuves sont indépendantes les unes des autres (un schéma de Bernoulli). Exemples classiques : le nombre de « pile » sur 10 lancers d’une pièce, le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 50 ou le nombre de bonnes réponses obtenues en répondant au hasard à un QCM.
Saisissez n, p et k ci-dessus. L’outil donne la probabilité d’obtenir exactement k succès et les quatre probabilités cumulées (moins de, au plus, plus de, au moins), la probabilité de tomber entre deux valeurs, l’espérance, la variance et l’écart type, un tableau de probabilités, un graphique et une solution détaillée qui reprend vos propres valeurs dans la formule.
Tous les résultats sont calculés dans votre navigateur, directement à partir de la formule de la loi binomiale – sans approximation par la loi normale ni table imprimée – pour tout n de 1 à 100 000.
Mode d’emploi
- Saisissez le nombre d’épreuves n (un nombre entier).
- Saisissez la probabilité de succès p d’une épreuve. Vous pouvez écrire un nombre décimal (0,25 ou 0.25), un pourcentage (25 %) ou une fraction (1/4).
- Saisissez le nombre de succès k qui vous intéresse.
- Choisissez l’événement à mettre en évidence – par exemple « Au moins k » – ou sélectionnez « Entre a et b » et saisissez les deux bornes.
- Lisez les résultats, le tableau et le graphique. Ils se mettent à jour pendant la saisie, tout comme l’adresse de la page : vous pouvez donc l’ajouter à vos favoris ou la partager avec vos valeurs exactes.
Les formules
Probabilité d’obtenir exactement k succès
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏpᵏ est la probabilité que k épreuves données soient toutes des succès, et (1 − p)ⁿ⁻ᵏ celle que les n − k épreuves restantes soient toutes des échecs. C(n, k) compte le nombre d’ordres différents dans lesquels ces succès peuvent apparaître : on multiplie donc la probabilité d’une séquence précise par le nombre de séquences de ce type.
Coefficient binomial
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)Également noté ⁿCₖ et lu « k parmi n » : le nombre de façons de choisir lesquelles des n épreuves sont les k succès.
Probabilités cumulées
P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k) P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)Une probabilité cumulée additionne des termes individuels. Quand la somme est longue d’un côté, il est plus rapide de passer par l’événement contraire : la somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1.
Espérance, variance et écart type
μ = n·p σ² = n·p·(1 − p) σ = √(n·p·(1 − p))L’espérance est le nombre moyen de succès sur le long terme. L’écart type mesure à quelle distance de cette moyenne se situe un résultat typique.
Exemples corrigés
Exemple 1 : six « pile » sur 10 lancers
On lance 10 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 6 fois pile, et au plus 6 fois pile ? Ici n = 10, p = 0,5 et k = 6.
- Compter les arrangements possibles : C(10, 6) = 10! / (6! · 4!) = 210.
- Probabilité d’un arrangement donné : 0,5⁶ · 0,5⁴ = 0,0009765625 (soit 1/1024).
- Multiplier : P(X = 6) = 210 × 0,0009765625 = 0,205078125.
- Pour « au plus 6 », l’événement contraire est plus court : P(X ≥ 7) = (C(10,7) + C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)) / 1024 = (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176/1024 = 0,171875.
- Donc P(X ≤ 6) = 1 − 0,171875 = 0,828125.
Réponse : P(X = 6) = 0,205078125 (environ 20,5 %) et P(X ≤ 6) = 0,828125 (environ 82,8 %).
Exemple 2 : réussir un QCM en répondant au hasard
Un QCM comporte 20 questions à 4 propositions chacune. Un élève répond au hasard à toutes les questions. Il faut 10 bonnes réponses pour réussir. Quelle est sa probabilité de réussite ? Ici n = 20, p = 0,25 et on cherche P(X ≥ 10).
- Moyenne et dispersion : μ = 20 × 0,25 = 5 bonnes réponses, σ = √(20 × 0,25 × 0,75) ≈ 1,936.
- Le terme correspondant au seuil de réussite : P(X = 10) = 184 756 × 0,25¹⁰ × 0,75¹⁰ = 0,0099222753.
- Passer par l’événement contraire : P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0,9861355831.
Réponse : P(X ≥ 10) = 0,0138644169, soit environ 1,4 % – à peu près 1 chance sur 72. Le seuil de 10 se situe environ 2,6 écarts types au-dessus du score moyen obtenu en répondant au hasard.
Quand utiliser le calcul de loi binomiale
- Le nombre d’épreuves n est fixé à l’avance.
- Chaque épreuve n’a que deux issues, appelées succès et échec.
- La probabilité de succès p est la même à chaque épreuve.
- Les épreuves sont indépendantes : le résultat de l’une ne modifie pas les chances d’une autre.
- Vous comptez le nombre de succès, pas l’ordre dans lequel ils surviennent.
Quand il ne s’applique pas
- Tirages sans remise dans un petit ensemble (par exemple des cartes d’un même jeu) : p change après chaque tirage, c’est donc la loi hypergéométrique qui convient. Si l’échantillon représente moins d’environ 10 % de la population, la loi binomiale en reste généralement une bonne approximation.
- Événements comptés dans le temps ou dans l’espace sans nombre fixe d’épreuves (appels par heure, coquilles par page) : il s’agit en général d’une loi de Poisson.
- Attente du premier succès (« combien d’essais avant… ») : c’est une loi géométrique. Pour la question voisine du nombre d’essais nécessaires, voir le calculateur de probabilité d’au moins un succès.
Erreurs fréquentes
- Confondre « au moins » et « plus de ». P(X ≥ 3) inclut 3, P(X > 3) non. De même, « au plus 3 » correspond à P(X ≤ 3) et « moins de 3 » à P(X < 3).
- Utiliser P(X = k) alors que la question porte sur une probabilité cumulée. « Quelle est la probabilité d’obtenir 3 ou moins ? » demande P(X ≤ 3), c’est-à-dire la somme de quatre termes.
- Saisir p sous forme de pourcentage entier, par exemple 30 au lieu de 0,3. Le calculateur accepte 30 % avec le signe pour cent, ou 0,3.
- Arrondir trop tôt. pᵏ peut être très petit ; l’arrondir à deux ou trois chiffres avant de multiplier peut changer sensiblement le résultat.
- Oublier le facteur C(n, k) : on obtient alors la probabilité d’une seule séquence précise au lieu de n’importe quelle séquence comportant k succès. Le calculateur de coefficient binomial le calcule exactement.
Questions fréquentes
Est-ce une calculatrice de probabilité binomiale ou de loi binomiale ?
Les deux. Elle donne la probabilité d’une valeur précise, P(X = k), ainsi que les probabilités cumulées qui décrivent l’ensemble de la loi, accompagnées d’un tableau de toutes les valeurs probables de X.
Comment calculer la probabilité d’au moins k succès ?
Utilisez P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Saisissez n, p et k ci-dessus et lisez la ligne « P(X ≥ k) » ; si vous choisissez « Au moins k », les barres correspondantes sont aussi mises en évidence sur le graphique.
Comment trouver la probabilité que X soit compris entre deux valeurs ?
Choisissez l’option « Entre a et b » et saisissez les deux bornes. L’outil additionne P(X = a) à P(X = b) : les deux bornes sont donc incluses. Pour un intervalle strict, rapprochez chaque borne d’une unité.
Quelles sont l’espérance et l’écart type d’une loi binomiale ?
L’espérance vaut n·p et l’écart type √(n·p·(1 − p)). Pour 10 lancers d’une pièce équilibrée, cela donne une espérance de 5 « pile » et un écart type d’environ 1,58.
Puis-je saisir p sous forme de fraction ou de pourcentage ?
Oui. 1/6, 0,1667 et 16,67 % sont tous acceptés. Une fraction conserve toute la précision, ce qui est pratique pour les exercices de dés et de cartes.
Jusqu’à quelle valeur de n peut-on aller ?
Jusqu’à 100 000 épreuves. Pour un grand n, le tableau et le graphique montrent la zone autour de l’espérance où se concentre la probabilité, mais chaque probabilité cumulée tient toujours compte de la loi complète.