Calculateur de probabilité d’au moins un succès
Calculez la probabilité d’au moins un succès en n essais indépendants, 1 − (1 − p)ⁿ, et le nombre d’essais nécessaires pour 50, 90, 95 ou 99 % de confiance.
ex. 0,01 ; 1 % ou 1/100
Essais nécessaires pour les niveaux de confiance courants
| Confiance d’obtenir au moins un succès | Essais nécessaires |
|---|
Solution détaillée
À propos de ce calculateur
Si un événement a 1 % de chances de se produire à chaque essai, est-il certain après 100 essais ? Non. Ce calculateur répond précisément à la question : à partir de la probabilité de succès p d’un essai et du nombre d’essais n, il donne la probabilité d’au moins un succès, la probabilité de n’en obtenir aucun et le nombre d’essais nécessaires pour atteindre le niveau de confiance de votre choix.
Il est utile pour les taux de drop dans les jeux vidéo, la probabilité qu’au moins un composant d’un système tombe en panne, l’échantillonnage en contrôle qualité, ou toute question du type « est-ce que cela arrivera au moins une fois ? » lorsque les essais sont indépendants.
Mode d’emploi
- Saisissez p, la probabilité de succès d’un essai, sous forme décimale (0,01), de pourcentage (1 %) ou de fraction (1/100).
- Saisissez n, le nombre d’essais.
- Si vous le souhaitez, modifiez le niveau de confiance visé (95 % par défaut) pour voir combien d’essais sont nécessaires pour l’atteindre.
- Les résultats et le tableau des objectifs courants se mettent à jour pendant la saisie.
Les formules
Probabilité de n’obtenir aucun succès
P(aucun) = (1 − p)ⁿChaque essai échoue avec la probabilité 1 − p. Les essais étant indépendants, la probabilité que les n essais échouent tous est ce nombre multiplié n fois par lui-même.
Probabilité d’au moins un succès
P(au moins un) = 1 − (1 − p)ⁿ« Au moins un succès », c’est tout sauf « aucun succès » : c’est l’événement contraire. C’est bien plus simple que d’additionner les probabilités d’exactement 1, 2, 3… succès.
Essais nécessaires pour un niveau de confiance c
n = ⌈ ln(1 − c) / ln(1 − p) ⌉On résout 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c en n à l’aide des logarithmes, puis on arrondit à l’entier supérieur, car on ne peut pas faire une fraction d’essai.
Règle rapide pour un petit p
P(au moins un) ≈ 1 − e^(−n·p) n₉₅ ≈ 3 / pQuand p est petit, (1 − p)ⁿ est proche de e^(−np). En égalant cette valeur à 0,05, on obtient n ≈ ln(20) / p ≈ 3 / p : c’est la règle du « 3/p » (rule of three en anglais).
Exemples corrigés
Exemple 1 : 1 % de chances, 100 essais
Un objet a un taux de drop de 1 %. Vous battez le boss 100 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir l’objet au moins une fois ?
- P(pas de drop en un essai) = 1 − 0,01 = 0,99.
- P(pas de drop en 100 essais) = 0,99¹⁰⁰ = 0,3660323413.
- P(au moins un drop) = 1 − 0,3660323413 = 0,6339676587.
- Essais pour 95 % de confiance : ln(0,05) / ln(0,99) = 298,07, arrondi à 299.
Réponse : Environ 63,4 % – et non 100 %. Environ 37 % des joueurs qui font 100 essais n’auront toujours rien obtenu. Il faut 69 essais pour atteindre 50 %, 299 pour 95 % et 459 pour 99 %.
Exemple 2 : obtenir un six
Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un six en 4 lancers d’un dé équilibré, et combien de lancers faut-il pour avoir 95 % de chances ? (C’est la moitié d’un célèbre problème de jeu du XVIIe siècle associé au chevalier de Méré, qui a contribué à lancer les travaux de Pascal et Fermat sur les probabilités.)
- p = 1/6, donc la probabilité de ne pas obtenir de six en un lancer est 5/6.
- P(aucun six en 4 lancers) = (5/6)⁴ = 625/1296 = 0,4822530864.
- P(au moins un six) = 1 − 0,4822530864 = 0,5177469136.
- Lancers pour 95 % : ln(0,05) / ln(5/6) = 16,431, arrondi à 17.
Réponse : 51,77 % pour 4 lancers – un peu mieux qu’une chance sur deux : un pari à égalité sur cet événement gagne donc un peu plus souvent qu’il ne perd. Il faut 17 lancers pour avoir 95 % de chances d’obtenir au moins un six.
Quand utiliser le calculateur d’au moins un succès
- Chaque essai est soit un succès, soit un échec.
- La probabilité de succès p est la même à chaque essai.
- Les essais sont indépendants : un échec ne rend pas l’essai suivant plus ou moins susceptible de réussir.
- Seule compte l’obtention d’au moins un succès, pas le nombre de succès.
Quand il ne s’applique pas
- Les systèmes à « pity » (objet garanti au bout d’un certain nombre d’essais), ou tout ce qui devient plus facile avec la pratique : p change d’un essai à l’autre.
- Les tirages sans remise, comme chercher un as dans un seul jeu de cartes : chaque tirage raté modifie les chances du suivant.
- Des probabilités différentes à chaque essai : utilisez plutôt 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ).
Erreurs fréquentes
- Additionner les probabilités. 100 essais × 1 % = 100 % est faux : les événements se recoupent, et la bonne réponse est 1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63,4 %.
- S’attendre à un succès garanti après 1/p essais. 1/p est le nombre moyen d’essais avant le premier succès, mais dans environ 37 % des cas il en faut davantage (quand p est petit).
- Confondre « au moins un » et « exactement un ». La probabilité d’exactement un succès vaut n·p·(1 − p)ⁿ⁻¹, ce qui est plus petit ; utilisez la calculatrice de loi binomiale pour ce calcul.
- Saisir le pourcentage sans le signe % – 5 au lieu de 5 % ou 0,05.
Questions fréquentes
Pourquoi 100 essais à 1 % ne garantissent-ils pas un succès ?
Parce que chaque essai peut échouer indépendamment des autres. La probabilité d’échouer les 100 fois vaut 0,99¹⁰⁰ ≈ 36,6 %, donc la probabilité d’au moins un succès est d’environ 63,4 %. Aucun nombre fini d’essais ne rend le succès certain.
Combien d’essais faut-il pour une chance sur X ?
Pour une petite probabilité de 1 sur X, il faut environ 0,69·X essais pour 50 %, 2,3·X pour 90 %, 3·X pour 95 % et 4,6·X pour 99 %. Le calculateur donne le nombre entier exact pour votre p.
Est-ce la même chose que P(X ≥ 1) pour une loi binomiale ?
Oui. P(au moins un succès) est P(X ≥ 1) pour une loi binomiale de paramètres n et p, ce qui vaut 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
Et si la probabilité change à chaque essai ?
Multipliez les probabilités d’échec de chaque essai et soustrayez le produit de 1 : P(au moins un) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ). Les essais doivent toujours être indépendants.
Quel est le nombre moyen d’essais avant le premier succès ?
En moyenne 1/p essais (c’est l’espérance de la loi géométrique). Pour 1 % de chances, cela fait 100 essais, alors que 100 essais ne donnent qu’environ 63 % de chances de succès.