Kalkulator Peluang Minimal Satu Sukses
Hitung peluang minimal satu sukses dalam n percobaan independen, 1 − (1 − p)ⁿ, serta jumlah percobaan yang diperlukan untuk keyakinan 50%, 90%, 95%, atau 99%.
mis. 0,01 atau 1% atau 1/100
Percobaan yang diperlukan untuk tingkat keyakinan umum
| Keyakinan minimal satu sukses | Percobaan yang diperlukan |
|---|
Penyelesaian langkah demi langkah
Tentang kalkulator ini
Jika sesuatu memiliki peluang 1% untuk terjadi setiap kali Anda mencoba, apakah mencoba 100 kali menjamin hal itu terjadi? Ternyata tidak. Kalkulator ini menjawab pertanyaan tersebut secara eksak: dari peluang sukses p pada satu percobaan dan banyaknya percobaan n, kalkulator memberikan peluang minimal satu sukses, peluang tidak ada sukses sama sekali, dan berapa kali percobaan yang Anda perlukan untuk mencapai tingkat keyakinan yang Anda tentukan.
Kalkulator ini berguna untuk menghitung drop rate dalam game, peluang setidaknya satu komponen dalam sebuah sistem rusak, pengambilan sampel untuk pengendalian mutu, atau pertanyaan “apakah ini akan terjadi minimal sekali?” lainnya, selama setiap percobaan saling bebas.
Cara menggunakan
- Masukkan p, peluang sukses pada satu percobaan, dalam bentuk desimal (0,01), persentase (1%), atau pecahan (1/100).
- Masukkan n, banyaknya percobaan.
- Jika perlu, ubah target keyakinan (bawaannya 95%) untuk melihat berapa kali percobaan yang diperlukan untuk mencapainya.
- Hasil dan tabel target yang umum diperbarui saat Anda mengetik.
Rumus-rumus
Peluang tidak ada sukses
P(tidak ada) = (1 − p)ⁿSetiap percobaan gagal dengan peluang 1 − p. Karena percobaan saling bebas, peluang semua n percobaan gagal adalah bilangan itu dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak n kali.
Peluang minimal satu sukses
P(minimal satu) = 1 − (1 − p)ⁿ“Minimal satu sukses” mencakup semua kemungkinan kecuali “tidak ada sukses”, jadi peluangnya adalah komplemen. Cara ini jauh lebih mudah daripada menjumlahkan peluang tepat 1, 2, 3, … sukses.
Percobaan yang diperlukan untuk target keyakinan c
n = ⌈ ln(1 − c) / ln(1 − p) ⌉Selesaikan 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c untuk n dengan logaritma, lalu bulatkan ke atas ke bilangan bulat berikutnya, karena tidak mungkin melakukan sebagian percobaan.
Aturan cepat untuk p kecil
P(minimal satu) ≈ 1 − e^(−n·p) n₉₅ ≈ 3 / pJika p kecil, (1 − p)ⁿ mendekati e^(−np). Menyamakannya dengan 0,05 menghasilkan n ≈ ln(20) / p ≈ 3 / p, yang dikenal sebagai “aturan tiga” (rule of three).
Contoh soal dan pembahasan
Contoh 1: peluang 1%, 100 kali percobaan
Sebuah item memiliki drop rate 1%. Anda mengalahkan bos sebanyak 100 kali. Berapa peluang Anda mendapatkan item itu minimal sekali?
- P(tidak mendapat item dalam satu percobaan) = 1 − 0,01 = 0,99.
- P(tidak mendapat item dalam 100 percobaan) = 0,99¹⁰⁰ = 0,3660323413.
- P(minimal sekali mendapat item) = 1 − 0,3660323413 = 0,6339676587.
- Percobaan untuk keyakinan 95%: ln(0,05) / ln(0,99) = 298,07, dibulatkan ke atas menjadi 299.
Jawaban: Sekitar 63,4% — bukan 100%. Kira-kira 37% pemain yang mencoba 100 kali tetap tidak mendapatkan apa-apa. Untuk mencapai 50% diperlukan 69 percobaan, untuk 95% diperlukan 299, dan untuk 99% diperlukan 459.
Contoh 2: mendapatkan mata dadu enam
Berapa peluang muncul minimal satu mata dadu enam dalam 4 kali pelemparan dadu seimbang, dan berapa kali pelemparan yang memberi peluang 95%? (Ini adalah separuh dari soal perjudian klasik abad ke-17 yang dikaitkan dengan Chevalier de Méré, yang turut mendorong Pascal dan Fermat mengembangkan teori peluang.)
- p = 1/6, jadi peluang tidak muncul enam dalam satu lemparan adalah 5/6.
- P(tidak ada enam dalam 4 lemparan) = (5/6)⁴ = 625/1296 = 0,4822530864.
- P(minimal satu enam) = 1 − 0,4822530864 = 0,5177469136.
- Lemparan untuk peluang 95%: ln(0,05) / ln(5/6) = 16,431, dibulatkan ke atas menjadi 17.
Jawaban: 51,77% untuk 4 lemparan — sedikit di atas fifty-fifty, sehingga taruhan dengan imbalan setara akan sedikit lebih sering menang daripada kalah. Anda memerlukan 17 lemparan untuk peluang 95% mendapatkan minimal satu mata enam.
Kapan menggunakan kalkulator peluang minimal satu sukses
- Setiap percobaan hanya bisa sukses atau gagal.
- Peluang sukses p sama pada setiap percobaan.
- Percobaan saling bebas: gagal sekali tidak membuat percobaan berikutnya lebih mudah atau lebih sulit untuk sukses.
- Anda hanya peduli apakah minimal satu sukses terjadi, bukan berapa banyak.
Kapan tidak dapat digunakan
- Sistem dengan mekanisme “pity” atau drop yang dijamin, atau apa pun yang makin mudah seiring latihan: p berubah dari satu percobaan ke percobaan berikutnya.
- Pengambilan tanpa pengembalian, seperti mencari kartu as dalam satu dek: setiap pengambilan yang gagal mengubah peluang pengambilan berikutnya.
- Peluang yang berbeda di setiap percobaan: gunakan 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ).
Kesalahan umum
- Menjumlahkan peluang. 100 percobaan × 1% = 100% itu keliru; peluang-peluang tersebut saling tumpang-tindih, dan jawaban yang benar adalah 1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63,4%.
- Mengira sukses pasti terjadi setelah 1/p percobaan. 1/p adalah rata-rata banyaknya percobaan sampai sukses pertama, tetapi dalam sekitar 37% kasus diperlukan lebih banyak percobaan (jika p kecil).
- Tertukar antara “minimal satu” dan “tepat satu”. Peluang tepat satu sukses adalah n·p·(1 − p)ⁿ⁻¹, yang lebih kecil; gunakan kalkulator distribusi binomial untuk menghitungnya.
- Memasukkan persentase tanpa tanda persen — 5 alih-alih 5% atau 0,05.
Pertanyaan yang sering diajukan
Mengapa 100 percobaan dengan peluang 1% tidak menjamin sukses?
Karena setiap percobaan dapat gagal secara independen. Peluang gagal di semua 100 percobaan adalah 0,99¹⁰⁰ ≈ 36,6%, sehingga peluang minimal satu sukses sekitar 63,4%. Tidak ada jumlah percobaan terbatas yang membuatnya pasti terjadi.
Berapa kali percobaan yang diperlukan untuk peluang 1 banding X?
Untuk peluang kecil sebesar 1 banding X, Anda memerlukan sekitar 0,69·X percobaan untuk peluang 50%, 2,3·X untuk 90%, 3·X untuk 95%, dan 4,6·X untuk 99%. Kalkulator ini memberikan bilangan bulat yang eksak untuk nilai p Anda.
Apakah ini sama dengan P(X ≥ 1) dalam distribusi binomial?
Ya. P(minimal satu sukses) adalah P(X ≥ 1) untuk distribusi binomial dengan n percobaan dan peluang p, yang sama dengan 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
Bagaimana jika peluangnya berbeda di setiap percobaan?
Kalikan peluang gagal masing-masing percobaan, lalu kurangkan hasilnya dari 1: P(minimal satu) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ). Percobaan tetap harus saling bebas.
Berapa rata-rata banyaknya percobaan sampai sukses pertama?
Rata-rata 1/p percobaan (ini adalah rata-rata distribusi geometrik). Untuk peluang 1%, artinya 100 percobaan, padahal 100 percobaan hanya memberi peluang sukses sekitar 63%.