Kalkulator Pendekatan Normal untuk Binomial
Kalkulator pendekatan normal binomial: bandingkan peluang eksak dengan hasil pendekatan, beserta koreksi kontinuitas, skor z, aturan np ≥ 5, dan galatnya.
mis. 0,3 atau 30% atau 3/10
Penyelesaian langkah demi langkah
Tentang kalkulator ini
Untuk n yang besar, distribusi binomial sangat mirip dengan kurva normal (berbentuk lonceng) yang memiliki rata-rata dan simpangan baku yang sama. Sebelum ada komputer, hal ini memungkinkan orang memperkirakan peluang binomial dengan tabel z, dan sampai sekarang menjadi dasar uji z yang umum dipakai untuk proporsi.
Kalkulator ini menampilkan kedua jawaban secara berdampingan: peluang binomial eksak, serta pendekatan normal dengan dan tanpa koreksi kontinuitas. Kalkulator juga menampilkan skor z, memeriksa aturan praktis yang biasa dipakai (np ≥ 5 dan n(1 − p) ≥ 5), dan melaporkan seberapa jauh hasil pendekatan dari nilai eksaknya, sehingga Anda dapat melihat kapan cara pintas ini aman digunakan.
Cara menggunakan
- Masukkan n, p, dan k.
- Pilih kejadiannya: P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k), atau P(X = k).
- Baca peluang eksak, hasil pendekatan, batas yang telah dikoreksi beserta skor z-nya, dan galatnya.
- Periksa penanda aturan praktis. Jika aturan itu tidak terpenuhi, gunakan nilai eksaknya.
Rumus-rumus
Rata-rata dan simpangan baku yang sama
μ = n·p σ = √(n·p·(1 − p))Kurva normal pendekatan menggunakan rata-rata dan simpangan baku binomial yang persis sama.
Koreksi kontinuitas
P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0,5) P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0,5) P(X = k) ≈ P(k − 0,5 < Y < k + 0,5)Distribusi binomial hanya mengambil nilai bilangan bulat, dan setiap nilai ibarat batang selebar 1 yang berpusat di k. Menggeser batas sejauh setengah satuan membuat kurva mulus menutupi seluruh batang, bukan memotongnya di tengah.
Skor z
z = (x − μ) / σ lalu P(Y < x) = Φ(z)Bakukan batas x yang telah dikoreksi, lalu cari peluang kumulatif normal baku Φ(z). Untuk kejadian “lebih dari”, gunakan 1 − Φ(z).
Aturan praktis
n·p ≥ 5 dan n·(1 − p) ≥ 5Kedua nilai harapan harus cukup besar agar distribusinya tidak terimpit ke 0 atau n. Sebagian buku teks memakai 10, bukan 5, sebagai syarat yang lebih ketat.
Contoh soal dan pembahasan
Contoh 1: paling banyak 55 sisi gambar dalam 100 lemparan
Sebuah koin seimbang dilempar 100 kali. Perkirakan P(X ≤ 55) dengan pendekatan normal dan bandingkan dengan jawaban eksaknya.
- μ = 100 × 0,5 = 50, σ = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5. Pemeriksaan aturan: np = 50 dan n(1 − p) = 50, keduanya ≥ 5.
- Koreksi kontinuitas: P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55,5).
- z = (55,5 − 50) / 5 = 1,1, sehingga hasil pendekatannya Φ(1,1) = 0,864334.
- Binomial eksak: P(X ≤ 55) = 0,864373.
- Tanpa koreksi, z = (55 − 50) / 5 = 1 dan Φ(1) = 0,841345 — jelas lebih buruk.
Jawaban: Pendekatan dengan koreksi hanya meleset 4 × 10⁻⁵; tanpa koreksi, galatnya menjadi sekitar 0,023.
Contoh 2: ketika aturan praktis tidak terpenuhi
Sebuah proses produksi menghasilkan 10% barang cacat. Dalam sampel berisi 20 barang, berapa P(X ≤ 1)?
- μ = 20 × 0,1 = 2, σ = √(20 × 0,1 × 0,9) ≈ 1,342. Pemeriksaan aturan: np = 2, di bawah 5.
- Batas terkoreksi 1,5, z = (1,5 − 2) / 1,342 = -0,3727, hasil pendekatan Φ(z) = 0,354694.
- Binomial eksak: P(X ≤ 1) = 0,9²⁰ + 20 × 0,1 × 0,9¹⁹ = 0,391747.
Jawaban: Hasil pendekatan meleset 0,037 (sekitar 9% dari nilai sebenarnya). Distribusinya menceng ketika np kecil, sehingga kurva lonceng yang simetris tidak cocok — gunakan nilai eksak dalam kasus ini.
Kapan menggunakan kalkulator pendekatan normal untuk binomial
- Situasinya binomial: n tetap, dua kemungkinan hasil, p konstan, dan percobaan saling bebas.
- n·p dan n·(1 − p) keduanya paling sedikit 5 (atau 10 untuk standar yang lebih ketat).
- Anda memerlukan perkiraan cepat secara manual, sedang mempelajari cara kerja uji z untuk proporsi, atau ingin memeriksa jawaban di buku teks.
- Jika perangkat lunak tersedia, peluang binomial eksak selalu setidaknya sama akuratnya; pendekatan ini hanyalah kemudahan, bukan peningkatan. Untuk n besar dengan banyak sukses, kalkulator distribusi binomial dapat langsung menghitung jumlah eksaknya.
Kapan tidak dapat digunakan
- n kecil atau p ekstrem (mendekati 0 atau 1). Jika n besar tetapi p kecil, distribusi Poisson dengan rata-rata n·p biasanya merupakan pendekatan yang lebih baik.
- Peluang yang jauh di ekor distribusi, misalnya P(X ≥ 90) untuk 100 lemparan koin. Galat absolutnya mungkin sangat kecil, tetapi galat relatifnya bisa sangat besar.
Kesalahan umum
- Lupa menerapkan koreksi kontinuitas, atau menggeser batas ke arah yang salah. “Paling banyak k” memakai k + 0,5; “paling sedikit k” memakai k − 0,5; “kurang dari k” sama dengan “paling banyak k − 1”, jadi memakai k − 0,5.
- Memakai variansi n·p·(1 − p) di dalam skor z, padahal yang seharusnya dipakai adalah simpangan baku √(n·p·(1 − p)).
- Menerapkan pendekatan ketika n·p atau n·(1 − p) kecil, sehingga hasilnya bisa meleset jauh (lihat Contoh 2). Kalkulator distribusi binomial memberikan nilai eksak untuk n berapa pun hingga 100.000.
- Memperkirakan P(X = k) tanpa koreksi: kurva kontinu memberikan tepat 0 untuk satu titik, jadi Anda harus memakai interval dari k − 0,5 sampai k + 0,5.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu koreksi kontinuitas?
Penyesuaian sebesar 0,5 pada batas ketika kurva normal yang kontinu dipakai untuk mendekati distribusi diskret. Setiap bilangan bulat k diperlakukan sebagai interval dari k − 0,5 sampai k + 0,5, sehingga P(X ≤ k) menjadi P(Y < k + 0,5).
Kapan pendekatan normal untuk binomial boleh digunakan?
Ketika n·p ≥ 5 dan n·(1 − p) ≥ 5 (sebagian mata kuliah mensyaratkan 10). Dalam kondisi tersebut, distribusi binomial cukup mendekati simetris sehingga kurva lonceng cocok dengan baik.
Seberapa akurat pendekatan normal?
Tergantung pada n, p, dan kejadiannya. Untuk 100 lemparan koin seimbang, P(X ≤ 55) meleset sekitar 4 × 10⁻⁵ dengan koreksi. Untuk n = 20 dan p = 0,1, galatnya sekitar 0,037. Kalkulator ini menampilkan galat yang eksak untuk input Anda.
Haruskah saya memakai + 0,5 atau − 0,5?
Perluas daerahnya agar mencakup seluruh batang dari setiap nilai yang Anda inginkan. Untuk X ≤ k atau X > k, batasnya k + 0,5; untuk X ≥ k atau X < k, batasnya k − 0,5.
Mengapa memakai pendekatan jika jawaban eksak tersedia?
Terutama untuk perhitungan manual, ujian, dan karena banyak uji statistik untuk proporsi dibangun di atasnya. Jika Anda dapat menghitung peluang binomial eksak, seperti di halaman ini, utamakan nilai eksaknya.