Kalkulator Distribusi Binomial
Kalkulator binomial gratis: hitung P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k), dan rentang nilai, beserta rata-rata, variansi, tabel distribusi, grafik, dan langkahnya.
mis. 0,25 atau 25% atau 1/4
Penyelesaian langkah demi langkah
Tabel peluang
| x | P(X = x) | P(X ≤ x) | P(X ≥ x) |
|---|
Tentang kalkulator ini
Distribusi binomial menggambarkan banyaknya sukses X dalam sejumlah percobaan n yang tetap, ketika setiap percobaan memiliki peluang sukses p yang sama dan hasil satu percobaan tidak memengaruhi percobaan lainnya. Contoh klasiknya adalah banyaknya sisi gambar dalam 10 kali pelemparan koin, banyaknya barang cacat dalam satu batch berisi 50 unit, atau banyaknya tebakan yang benar pada soal pilihan ganda.
Masukkan n, p, dan k di atas. Kalkulator ini memberikan peluang tepat k sukses dan keempat peluang kumulatif (kurang dari, paling banyak, lebih dari, paling sedikit), peluang hasil berada di antara dua nilai, rata-rata, variansi, dan simpangan baku, tabel peluang, grafik, serta penyelesaian lengkap dengan angka Anda sendiri yang disubstitusikan ke dalam rumus.
Semua hasil dihitung di browser Anda langsung dari rumus binomial — bukan dari pendekatan normal atau tabel cetak — untuk n berapa pun dari 1 hingga 100.000.
Cara menggunakan
- Masukkan banyaknya percobaan n (bilangan bulat).
- Masukkan peluang sukses pada satu percobaan, p. Anda dapat mengetik desimal (0,25 atau 0.25), persentase (25%), atau pecahan (1/4).
- Masukkan banyaknya sukses k yang ingin Anda hitung.
- Pilih kejadian yang ingin disorot — misalnya “paling sedikit k” — atau pilih “antara a dan b” lalu masukkan kedua batasnya.
- Baca hasil, tabel, dan grafiknya. Semuanya diperbarui saat Anda mengetik, begitu pula alamat halaman, sehingga Anda dapat menyimpan atau membagikan input yang sama persis.
Rumus-rumus
Peluang tepat k sukses
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏpᵏ adalah peluang bahwa k percobaan tertentu semuanya sukses, dan (1 − p)ⁿ⁻ᵏ adalah peluang bahwa n − k percobaan sisanya semuanya gagal. C(n, k) menghitung banyaknya urutan berbeda tempat sukses-sukses itu dapat muncul, sehingga peluang satu urutan tertentu dikalikan dengan banyaknya urutan tersebut.
Koefisien binomial
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)Juga ditulis ⁿCₖ dan dibaca “kombinasi k dari n”: banyaknya cara memilih k percobaan dari n percobaan yang menjadi sukses.
Peluang kumulatif
P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k) P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)Peluang kumulatif menjumlahkan suku-suku individual. Jika penjumlahan di satu sisi terlalu panjang, lebih cepat menggunakan komplemen: jumlah peluang semua kemungkinan hasil selalu sama dengan 1.
Rata-rata, variansi, dan simpangan baku
μ = n·p σ² = n·p·(1 − p) σ = √(n·p·(1 − p))Rata-rata adalah banyaknya sukses rata-rata dalam jangka panjang. Simpangan baku mengukur seberapa jauh hasil yang umum terjadi menyimpang dari rata-rata tersebut.
Contoh soal dan pembahasan
Contoh 1: enam sisi gambar dalam 10 lemparan koin
Sebuah koin seimbang dilempar 10 kali. Berapa peluang muncul tepat 6 sisi gambar, dan berapa peluang muncul paling banyak 6 sisi gambar? Di sini n = 10, p = 0,5, dan k = 6.
- Hitung banyaknya susunan: C(10, 6) = 10! / (6! · 4!) = 210.
- Peluang satu susunan tertentu: 0,5⁶ · 0,5⁴ = 0,0009765625 (yaitu 1/1024).
- Kalikan: P(X = 6) = 210 × 0,0009765625 = 0,205078125.
- Untuk “paling banyak 6”, komplemennya lebih pendek: P(X ≥ 7) = (C(10,7) + C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)) / 1024 = (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176/1024 = 0,171875.
- Jadi, P(X ≤ 6) = 1 − 0,171875 = 0,828125.
Jawaban: P(X = 6) = 0,205078125 (sekitar 20,5%) dan P(X ≤ 6) = 0,828125 (sekitar 82,8%).
Contoh 2: lulus kuis hanya dengan menebak
Sebuah kuis terdiri atas 20 soal pilihan ganda, masing-masing dengan 4 pilihan jawaban. Seorang siswa menebak semua jawaban. Batas lulusnya 10 jawaban benar. Berapa peluang siswa itu lulus? Di sini n = 20, p = 0,25, dan yang dicari adalah P(X ≥ 10).
- Rata-rata dan sebaran: μ = 20 × 0,25 = 5 jawaban benar, σ = √(20 × 0,25 × 0,75) ≈ 1,936.
- Suku tunggal pada batas lulus: P(X = 10) = 184.756 × 0,25¹⁰ × 0,75¹⁰ = 0,0099222753.
- Gunakan komplemen: P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0,9861355831.
Jawaban: P(X ≥ 10) = 0,0138644169, kira-kira 1,4% — sekitar 1 banding 72. Batas lulus 10 berada sekitar 2,6 simpangan baku di atas hasil rata-rata dari menebak.
Kapan menggunakan kalkulator distribusi binomial
- Banyaknya percobaan n tetap dan sudah ditentukan sejak awal.
- Setiap percobaan hanya memiliki dua kemungkinan hasil, yang Anda sebut sukses dan gagal.
- Peluang sukses p sama pada setiap percobaan.
- Percobaan saling bebas: hasil satu percobaan tidak mengubah peluang percobaan lainnya.
- Yang Anda hitung adalah banyaknya sukses, bukan urutan kemunculannya.
Kapan tidak dapat digunakan
- Pengambilan tanpa pengembalian dari kelompok kecil (misalnya kartu dari satu dek): p berubah setiap kali kartu diambil, sehingga model yang tepat adalah distribusi hipergeometrik. Jika sampel kurang dari sekitar 10% populasi, distribusi binomial biasanya sudah menjadi pendekatan yang baik.
- Menghitung kejadian dalam rentang waktu atau ruang tanpa jumlah percobaan yang tetap (panggilan telepon per jam, salah ketik per halaman): biasanya itu distribusi Poisson.
- Menunggu sukses pertama (“berapa kali mencoba sampai…”): itu distribusi geometrik — lihat kalkulator peluang minimal satu sukses untuk pertanyaan terkait, yaitu berapa kali percobaan yang Anda perlukan.
Kesalahan umum
- Tertukar antara “paling sedikit” dan “lebih dari”. P(X ≥ 3) mencakup 3, sedangkan P(X > 3) tidak. Demikian pula, “paling banyak 3” adalah P(X ≤ 3) dan “kurang dari 3” adalah P(X < 3).
- Menggunakan P(X = k) padahal pertanyaannya kumulatif. “Berapa peluang 3 atau kurang?” memerlukan P(X ≤ 3), yaitu jumlah empat suku.
- Mengetik p sebagai persentase tanpa tanda persen, misalnya 30 alih-alih 0,3. Kalkulator ini menerima 30% dengan tanda persen, atau 0,3.
- Membulatkan terlalu dini. pᵏ bisa sangat kecil; membulatkannya menjadi dua atau tiga digit sebelum dikalikan dapat mengubah jawaban secara nyata.
- Lupa mengalikan dengan faktor C(n, k), sehingga yang diperoleh adalah peluang satu urutan tertentu, bukan peluang semua urutan dengan k sukses. Kalkulator koefisien binomial menghitung nilainya secara eksak.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apakah ini kalkulator peluang binomial atau kalkulator distribusi binomial?
Keduanya. Kalkulator ini memberikan peluang untuk satu nilai, P(X = k), dan peluang kumulatif yang menggambarkan seluruh distribusi, lengkap dengan tabel semua nilai X yang mungkin muncul.
Bagaimana cara menghitung peluang paling sedikit k sukses?
Gunakan P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Masukkan n, p, dan k di atas lalu lihat baris “P(X ≥ k)”; memilih “paling sedikit k” juga akan menyorot batang-batang tersebut pada grafik.
Bagaimana cara mencari peluang X berada di antara dua bilangan?
Pilih opsi “antara a dan b” dan masukkan kedua batasnya. Kalkulator menjumlahkan P(X = a) sampai P(X = b), sehingga kedua batas ikut dihitung. Untuk rentang yang tidak memuat batasnya, geser masing-masing batas satu langkah ke dalam.
Berapa rata-rata dan simpangan baku distribusi binomial?
Rata-ratanya n·p dan simpangan bakunya √(n·p·(1 − p)). Untuk 10 kali lemparan koin seimbang, rata-ratanya 5 sisi gambar dan simpangan bakunya sekitar 1,58.
Bisakah saya memasukkan p sebagai pecahan atau persentase?
Bisa. 1/6, 0,1667, dan 16,67% semuanya diterima. Pecahan mempertahankan presisi penuh, sehingga praktis untuk soal dadu dan kartu.
Seberapa besar nilai n yang dapat digunakan?
Hingga 100.000 percobaan. Untuk n yang besar, tabel dan grafik menampilkan rentang di sekitar rata-rata tempat peluang terkonsentrasi, dan setiap nilai kumulatif tetap mencakup seluruh distribusi.