Calcolatrice della distribuzione binomiale
Calcolo binomiale gratuito: P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) e intervalli, con media, varianza, tabella della distribuzione, grafico e soluzione passo per passo.
es. 0,25 oppure 25% o 1/4
Soluzione passo per passo
Tabella delle probabilità
| x | P(X = x) | P(X ≤ x) | P(X ≥ x) |
|---|
Informazioni su questo calcolatore
La distribuzione binomiale descrive il numero di successi X in un numero fisso di prove n, quando ogni prova ha la stessa probabilità di successo p e le prove non si influenzano a vicenda. Esempi classici sono il numero di teste in 10 lanci di una moneta, il numero di pezzi difettosi in un lotto di 50 o il numero di risposte indovinate in un test a scelta multipla.
Inserisci n, p e k qui sopra. La calcolatrice fornisce la probabilità di ottenere esattamente k successi e tutte e quattro le probabilità cumulative (meno di, al massimo, più di, almeno), la probabilità di cadere tra due valori, media, varianza e deviazione standard, una tabella delle probabilità, un grafico e la soluzione svolta con i tuoi numeri sostituiti nella formula.
Ogni risultato viene calcolato nel browser direttamente dalla formula binomiale — non da un’approssimazione normale o da una tavola stampata — per qualsiasi n da 1 a 100.000.
Come si usa
- Inserisci il numero di prove n (un numero intero).
- Inserisci la probabilità di successo in una singola prova, p. Puoi scrivere un decimale (0,25 o 0.25), una percentuale (25%) o una frazione (1/4).
- Inserisci il numero di successi k che ti interessa.
- Scegli l’evento da evidenziare — per esempio “almeno k” — oppure seleziona “tra a e b” e inserisci entrambi gli estremi.
- Leggi risultati, tabella e grafico. Si aggiornano mentre scrivi, e lo stesso vale per l’indirizzo della pagina: puoi salvarla nei preferiti o condividerla con i valori esatti che hai inserito.
Le formule
Probabilità di esattamente k successi
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏpᵏ è la probabilità che k prove specifiche abbiano tutte successo, e (1 − p)ⁿ⁻ᵏ è la probabilità che le restanti n − k prove falliscano tutte. C(n, k) conta in quanti ordini diversi possono presentarsi quei successi, quindi moltiplica la probabilità di una singola sequenza per il numero di sequenze possibili.
Coefficiente binomiale
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)Si scrive anche ⁿCₖ e si legge “n su k”: è il numero di modi per scegliere quali k delle n prove sono successi.
Probabilità cumulative
P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k) P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)Le probabilità cumulative sommano i singoli termini. Quando la somma da un lato è lunga, conviene passare all’evento complementare: le probabilità di tutti i risultati possibili sommano sempre a 1.
Media, varianza e deviazione standard
μ = n·p σ² = n·p·(1 − p) σ = √(n·p·(1 − p))La media è il numero medio di successi nel lungo periodo. La deviazione standard misura quanto un risultato tipico si discosta da quella media.
Esempi svolti
Esempio 1: sei teste in 10 lanci di una moneta
Si lancia 10 volte una moneta equilibrata. Qual è la probabilità di ottenere esattamente 6 teste, e quella di ottenerne al massimo 6? Qui n = 10, p = 0,5 e k = 6.
- Conta le sequenze possibili: C(10, 6) = 10! / (6! · 4!) = 210.
- Probabilità di una sequenza specifica: 0,5⁶ · 0,5⁴ = 0,0009765625 (cioè 1/1024).
- Moltiplica: P(X = 6) = 210 × 0,0009765625 = 0,205078125.
- Per “al massimo 6” il complementare è più breve: P(X ≥ 7) = (C(10,7) + C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)) / 1024 = (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176/1024 = 0,171875.
- Quindi P(X ≤ 6) = 1 − 0,171875 = 0,828125.
Risposta: P(X = 6) = 0,205078125 (circa 20,5%) e P(X ≤ 6) = 0,828125 (circa 82,8%).
Esempio 2: superare un quiz tirando a indovinare
Un quiz ha 20 domande a scelta multipla con 4 opzioni ciascuna. Uno studente risponde a caso a tutte. Per superarlo servono 10 risposte esatte. Che probabilità ha di farcela? Qui n = 20, p = 0,25 e cerchiamo P(X ≥ 10).
- Media e dispersione: μ = 20 × 0,25 = 5 risposte esatte, σ = √(20 × 0,25 × 0,75) ≈ 1,936.
- Il singolo termine alla soglia di sufficienza: P(X = 10) = 184.756 × 0,25¹⁰ × 0,75¹⁰ = 0,0099222753.
- Usa il complementare: P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0,9861355831.
Risposta: P(X ≥ 10) = 0,0138644169, circa 1,4%: più o meno 1 possibilità su 72. La soglia di 10 si trova circa 2,6 deviazioni standard sopra il risultato medio che si ottiene tirando a indovinare.
Quando usare la calcolatrice della distribuzione binomiale
- Il numero di prove n è fisso e stabilito in anticipo.
- Ogni prova ha esattamente due esiti, che chiami successo e insuccesso.
- La probabilità di successo p è la stessa in ogni prova.
- Le prove sono indipendenti: l’esito di una non modifica le probabilità delle altre.
- Ti interessa contare il numero di successi, non l’ordine in cui si verificano.
Quando non si applica
- Estrazioni senza reimmissione da un gruppo piccolo (per esempio carte da un solo mazzo): p cambia dopo ogni estrazione, quindi il modello corretto è la distribuzione ipergeometrica. Se il campione è inferiore al 10% circa della popolazione, la binomiale è di solito una buona approssimazione.
- Conteggi di eventi nel tempo o nello spazio senza un numero fisso di prove (chiamate all’ora, refusi per pagina): in genere si tratta di una distribuzione di Poisson.
- Attesa del primo successo (“quanti tentativi prima che…”): è una distribuzione geometrica. Per la domanda collegata, cioè quanti tentativi servono, vedi il calcolatore della probabilità di almeno un successo.
Errori comuni
- Confondere “almeno” con “più di”. P(X ≥ 3) include il 3; P(X > 3) no. Allo stesso modo “al massimo 3” è P(X ≤ 3) e “meno di 3” è P(X < 3).
- Usare P(X = k) quando la domanda è cumulativa. “Qual è la probabilità di ottenere 3 o meno?” richiede P(X ≤ 3), cioè la somma di quattro termini.
- Scrivere p come percentuale senza simbolo, per esempio 30 invece di 0,3. Questa calcolatrice accetta 30% con il simbolo di percentuale, oppure 0,3.
- Arrotondare troppo presto. pᵏ può essere molto piccolo: arrotondarlo a due o tre cifre prima di moltiplicare può cambiare sensibilmente il risultato.
- Dimenticare il fattore C(n, k): così si ottiene la probabilità di una sola sequenza specifica invece che di una qualsiasi sequenza con k successi. Il calcolatore del coefficiente binomiale lo calcola in modo esatto.
Domande frequenti
È una calcolatrice di probabilità binomiale o di distribuzione binomiale?
Entrambe le cose. Fornisce la probabilità di un singolo valore, P(X = k), e le probabilità cumulative che descrivono l’intera distribuzione, insieme a una tabella con tutti i valori plausibili di X.
Come si calcola la probabilità di almeno k successi?
Si usa P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Inserisci n, p e k qui sopra e leggi la riga “P(X ≥ k)”; selezionando “almeno k” vengono evidenziate anche le barre corrispondenti nel grafico.
Come trovo la probabilità che X sia compreso tra due numeri?
Scegli l’opzione “tra a e b” e inserisci entrambi gli estremi. La calcolatrice somma da P(X = a) a P(X = b), quindi entrambi gli estremi sono inclusi. Per un intervallo con estremi esclusi, sposta ciascun estremo di un’unità verso l’interno.
Quali sono la media e la deviazione standard di una distribuzione binomiale?
La media è n·p e la deviazione standard è √(n·p·(1 − p)). Per 10 lanci di una moneta equilibrata la media è 5 teste e la deviazione standard circa 1,58.
Posso inserire p come frazione o come percentuale?
Sì. 1/6, 0,1667 e 16,67% sono tutti accettati. Una frazione mantiene la piena precisione, il che è comodo nei problemi con dadi e carte.
Quanto può essere grande n?
Fino a 100.000 prove. Per n grandi, tabella e grafico mostrano l’intervallo intorno alla media in cui si concentra la probabilità, e ogni valore cumulativo tiene comunque conto dell’intera distribuzione.