Calcolatore della probabilità di almeno un successo
Calcola la probabilità di almeno un successo in n tentativi indipendenti, 1 − (1 − p)ⁿ, e quanti tentativi servono per arrivare al 50%, al 90%, al 95% o al 99%.
es. 0,01 oppure 1% o 1/100
Tentativi necessari per i livelli di confidenza più comuni
| Confidenza di almeno un successo | Tentativi necessari |
|---|
Soluzione passo per passo
Informazioni su questo calcolatore
Se un evento ha l’1% di probabilità a ogni tentativo, provarci 100 volte lo rende certo? No. Questo calcolatore risponde alla domanda in modo esatto: data la probabilità di successo p in un singolo tentativo e il numero di tentativi n, fornisce la probabilità di almeno un successo, quella di nessun successo e quanti tentativi servono per raggiungere il livello di confidenza che scegli.
È utile per i drop rate nei videogiochi, per la probabilità che almeno un componente di un sistema si guasti, per i campionamenti nel controllo qualità o per qualsiasi domanda del tipo “succederà almeno una volta?” in cui i tentativi siano indipendenti.
Come si usa
- Inserisci p, la probabilità di successo in un singolo tentativo, come decimale (0,01), percentuale (1%) o frazione (1/100).
- Inserisci n, il numero di tentativi.
- Se vuoi, cambia la confidenza obiettivo (95% di default) per vedere quanti tentativi servirebbero per raggiungerla.
- I risultati e la tabella con i livelli più comuni si aggiornano mentre scrivi.
Le formule
Probabilità di nessun successo
P(nessuno) = (1 − p)ⁿOgni tentativo fallisce con probabilità 1 − p. Poiché i tentativi sono indipendenti, la probabilità che falliscano tutti e n è quel numero moltiplicato per sé stesso n volte.
Probabilità di almeno un successo
P(almeno uno) = 1 − (1 − p)ⁿ“Almeno un successo” è tutto tranne “nessun successo”, quindi è l’evento complementare. È molto più semplice che sommare le probabilità di esattamente 1, 2, 3, … successi.
Tentativi necessari per una confidenza c
n = ⌈ ln(1 − c) / ln(1 − p) ⌉Si risolve 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c rispetto a n passando ai logaritmi, poi si arrotonda all’intero successivo, perché non esiste una frazione di tentativo.
Regola rapida per p piccolo
P(almeno uno) ≈ 1 − e^(−n·p) n₉₅ ≈ 3 / pQuando p è piccolo, (1 − p)ⁿ è vicino a e^(−np). Ponendolo uguale a 0,05 si ottiene n ≈ ln(20) / p ≈ 3 / p, la cosiddetta “regola del tre”.
Esempi svolti
Esempio 1: l’1% di probabilità, 100 tentativi
Un oggetto ha un drop rate dell’1%. Sconfiggi il boss 100 volte. Qual è la probabilità di ottenere l’oggetto almeno una volta?
- P(nessun drop in un tentativo) = 1 − 0,01 = 0,99.
- P(nessun drop in 100 tentativi) = 0,99¹⁰⁰ = 0,3660323413.
- P(almeno un drop) = 1 − 0,3660323413 = 0,6339676587.
- Tentativi per una confidenza del 95%: ln(0,05) / ln(0,99) = 298,07, arrotondato per eccesso a 299.
Risposta: Circa il 63,4%, non il 100%. Circa il 37% dei giocatori che provano 100 volte resta comunque a mani vuote. Per arrivare al 50% servono 69 tentativi, per il 95% ne servono 299 e per il 99% 459.
Esempio 2: ottenere un sei
Qual è la probabilità di ottenere almeno un sei in 4 lanci di un dado equilibrato, e quanti lanci servono per avere il 95% di probabilità? (È metà di un classico problema di gioco d’azzardo del XVII secolo legato al Cavaliere de Méré, che contribuì a spingere Pascal e Fermat a sviluppare il calcolo delle probabilità.)
- p = 1/6, quindi la probabilità di non ottenere un sei in un lancio è 5/6.
- P(nessun sei in 4 lanci) = (5/6)⁴ = 625/1296 = 0,4822530864.
- P(almeno un sei) = 1 − 0,4822530864 = 0,5177469136.
- Lanci per il 95%: ln(0,05) / ln(5/6) = 16,431, arrotondato per eccesso a 17.
Risposta: Il 51,77% con 4 lanci: appena sopra la parità, quindi una scommessa alla pari su questo evento vince un po’ più spesso di quanto perda. Servono 17 lanci per avere il 95% di probabilità di ottenere almeno un sei.
Quando usare il calcolatore della probabilità di almeno un successo
- Ogni tentativo ha successo oppure fallisce.
- La probabilità di successo p è la stessa a ogni tentativo.
- I tentativi sono indipendenti: un fallimento non rende il successo al tentativo seguente né più né meno probabile.
- Ti interessa solo sapere se si verifica almeno un successo, non quanti.
Quando non si applica
- Sistemi con meccaniche di “pity” o drop garantiti, o qualsiasi attività che diventa più facile con la pratica: p cambia da un tentativo all’altro.
- Estrazioni senza reimmissione, come cercare un asso in un solo mazzo: ogni estrazione fallita modifica le probabilità della successiva.
- Probabilità diverse a ogni tentativo: in questo caso usa 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ).
Errori comuni
- Sommare le probabilità. 100 tentativi × 1% = 100% è sbagliato: le probabilità si sovrappongono, e la risposta corretta è 1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63,4%.
- Aspettarsi un successo garantito dopo 1/p tentativi. 1/p è il numero medio di tentativi fino al primo successo, ma circa nel 37% dei casi ne servono di più (quando p è piccolo).
- Confondere “almeno uno” con “esattamente uno”. La probabilità di esattamente un successo è n·p·(1 − p)ⁿ⁻¹, che è minore; per calcolarla usa la calcolatrice della distribuzione binomiale.
- Inserire la percentuale senza il simbolo: 5 invece di 5% o 0,05.
Domande frequenti
Perché 100 tentativi con l’1% di probabilità non garantiscono un successo?
Perché ogni tentativo può fallire in modo indipendente. La probabilità di fallirli tutti e 100 è 0,99¹⁰⁰ ≈ 36,6%, quindi la probabilità di almeno un successo è circa il 63,4%. Nessun numero finito di tentativi rende il successo certo.
Quanti tentativi servono per una probabilità di 1 su X?
Per una probabilità piccola di 1 su X servono circa 0,69·X tentativi per arrivare al 50%, 2,3·X per il 90%, 3·X per il 95% e 4,6·X per il 99%. Il calcolatore fornisce il numero intero esatto per il tuo valore di p.
È lo stesso di P(X ≥ 1) in una distribuzione binomiale?
Sì. P(almeno un successo) è P(X ≥ 1) per una distribuzione binomiale con n prove e probabilità p, che è uguale a 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
E se la probabilità cambia a ogni tentativo?
Moltiplica le singole probabilità di fallimento e sottrai il risultato da 1: P(almeno uno) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ). I tentativi devono comunque essere indipendenti.
Qual è il numero atteso di tentativi fino al primo successo?
In media 1/p tentativi (è la media della distribuzione geometrica). Con l’1% di probabilità sono 100 tentativi, anche se 100 tentativi danno solo circa il 63% di probabilità di successo.