Calcolatore dell’approssimazione normale della binomiale
Confronta la probabilità binomiale esatta con l’approssimazione normale, con correzione di continuità, punteggio z e regola np ≥ 5, e scopri l’errore esatto.
es. 0,3 oppure 30% o 3/10
Soluzione passo per passo
Informazioni su questo calcolatore
Per n grandi, una distribuzione binomiale somiglia molto a una curva normale (a campana) con la stessa media e la stessa deviazione standard. Prima dei computer questo permetteva di stimare le probabilità binomiali con le tavole della normale standard, ed è ancora oggi la base del comune test z per una proporzione.
Questo calcolatore mostra le due risposte affiancate: la probabilità binomiale esatta e l’approssimazione normale, con e senza correzione di continuità. Mostra anche il punteggio z, verifica la consueta regola pratica (np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5) e indica quanto l’approssimazione si discosta dal valore esatto, così puoi capire quando la scorciatoia è affidabile.
Come si usa
- Inserisci n, p e k.
- Scegli l’evento: P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k) o P(X = k).
- Leggi la probabilità esatta, l’approssimazione, l’estremo corretto con il relativo punteggio z e l’errore.
- Controlla l’indicatore della regola pratica: se non è soddisfatta, fidati del valore esatto.
Le formule
Stessa media e stessa deviazione standard
μ = n·p σ = √(n·p·(1 − p))La curva normale approssimante usa esattamente la media e la deviazione standard della binomiale.
Correzione di continuità
P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0,5) P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0,5) P(X = k) ≈ P(k − 0,5 < Y < k + 0,5)La binomiale assume solo valori interi, e ognuno è come una barra di larghezza 1 centrata su k. Spostare l’estremo di mezza unità fa sì che la curva continua copra l’intera barra invece di tagliarla a metà.
Punteggio z
z = (x − μ) / σ poi P(Y < x) = Φ(z)Standardizza l’estremo corretto x e cerca la probabilità cumulativa della normale standard Φ(z). Per gli eventi del tipo “maggiore di” usa 1 − Φ(z).
Regola pratica
n·p ≥ 5 e n·(1 − p) ≥ 5Entrambi i conteggi attesi devono essere abbastanza grandi da non schiacciare la distribuzione contro 0 o contro n. Alcuni libri di testo usano 10 al posto di 5 per una verifica più severa.
Esempi svolti
Esempio 1: al massimo 55 teste in 100 lanci
Si lancia 100 volte una moneta equilibrata. Stima P(X ≤ 55) con l’approssimazione normale e confrontala con il risultato esatto.
- μ = 100 × 0,5 = 50, σ = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5. Verifica della regola: np = 50 e n(1 − p) = 50, entrambi ≥ 5.
- Correzione di continuità: P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55,5).
- z = (55,5 − 50) / 5 = 1,1, quindi l’approssimazione è Φ(1,1) = 0,864334.
- Binomiale esatta: P(X ≤ 55) = 0,864373.
- Senza correzione, z = (55 − 50) / 5 = 1 e Φ(1) = 0,841345: un risultato decisamente peggiore.
Risposta: L’approssimazione con correzione sbaglia di appena 4 × 10⁻⁵; senza correzione l’errore sale a circa 0,023.
Esempio 2: quando la regola pratica non è soddisfatta
Un processo produce il 10% di pezzi difettosi. In un campione di 20 pezzi, quanto vale P(X ≤ 1)?
- μ = 20 × 0,1 = 2, σ = √(20 × 0,1 × 0,9) ≈ 1,342. Verifica della regola: np = 2, che è minore di 5.
- Estremo corretto 1,5, z = (1,5 − 2) / 1,342 = -0,3727, approssimazione Φ(z) = 0,354694.
- Binomiale esatta: P(X ≤ 1) = 0,9²⁰ + 20 × 0,1 × 0,9¹⁹ = 0,391747.
Risposta: L’approssimazione sbaglia di 0,037 (circa il 9% del valore vero). Quando np è piccolo la distribuzione è asimmetrica, quindi una campana simmetrica si adatta male: qui usa il valore esatto.
Quando usare il calcolatore dell’approssimazione normale della binomiale
- La situazione è binomiale: n fisso, due esiti, p costante e prove indipendenti.
- n·p e n·(1 − p) valgono entrambi almeno 5 (o 10, con un criterio più severo).
- Ti serve una stima veloce a mano, stai imparando come funzionano i test z per le proporzioni o vuoi controllare la soluzione di un libro di testo.
- Se hai a disposizione un software, la probabilità binomiale esatta è sempre almeno altrettanto precisa: l’approssimazione è una comodità, non un miglioramento. Per n grandi con molti successi, la calcolatrice della distribuzione binomiale calcola direttamente la somma esatta.
Quando non si applica
- n piccolo o p estremo (vicino a 0 o a 1). Quando n è grande ma p è piccolo, di solito la distribuzione di Poisson con media n·p è un’approssimazione migliore.
- Probabilità molto lontane nelle code, come P(X ≥ 90) su 100 lanci di moneta. L’errore assoluto può essere minimo, ma quello relativo può essere enorme.
Errori comuni
- Dimenticare la correzione di continuità o spostare l’estremo nella direzione sbagliata. “Al massimo k” usa k + 0,5; “almeno k” usa k − 0,5; “meno di k” equivale ad “al massimo k − 1”, quindi usa k − 0,5.
- Usare la varianza n·p·(1 − p) dove nel punteggio z va la deviazione standard √(n·p·(1 − p)).
- Applicare l’approssimazione quando n·p o n·(1 − p) è piccolo, caso in cui può sbagliare di molto (vedi l’Esempio 2). La calcolatrice della distribuzione binomiale fornisce il valore esatto per qualsiasi n fino a 100.000.
- Approssimare P(X = k) senza correzione: una curva continua assegna probabilità esattamente 0 a un singolo punto, quindi bisogna usare l’intervallo da k − 0,5 a k + 0,5.
Domande frequenti
Che cos’è la correzione di continuità?
È un aggiustamento di 0,5 sull’estremo quando una curva normale continua approssima una distribuzione discreta. Ogni intero k viene trattato come l’intervallo da k − 0,5 a k + 0,5, quindi P(X ≤ k) diventa P(Y < k + 0,5).
Quando si può usare l’approssimazione normale della binomiale?
Quando n·p ≥ 5 e n·(1 − p) ≥ 5 (alcuni corsi richiedono 10). In queste condizioni la binomiale è abbastanza simmetrica perché la campana si adatti bene.
Quanto è precisa l’approssimazione normale?
Dipende da n, p e dall’evento. Per 100 lanci di una moneta equilibrata, P(X ≤ 55) con la correzione sbaglia di circa 4 × 10⁻⁵. Con n = 20 e p = 0,1 l’errore è di circa 0,037. Il calcolatore mostra l’errore esatto per i tuoi valori.
Devo usare + 0,5 o − 0,5?
Allarga la regione in modo da includere l’intera barra di ogni valore che ti interessa. Per X ≤ k o X > k l’estremo è k + 0,5; per X ≥ k o X < k è k − 0,5.
Perché usare l’approssimazione se si può avere il risultato esatto?
Soprattutto per i calcoli a mano, per gli esami e perché molti test statistici sulle proporzioni si basano su di essa. Quando puoi calcolare la probabilità binomiale esatta, come fa questa pagina, preferisci il valore esatto.