二項分布の正規近似計算ツール

二項分布の正確な確率と正規近似の値を並べて比較できます。連続性補正やz値、np ≥ 5の目安を確認でき、近似による誤差も途中式つきで正確に表示します。

試行回数（n）

成功確率（p）

例：0.3、30%、3/10

成功回数（k）

求める確率

平均 μ = np

標準偏差 σ

補正後の境界

z値

事象（正確な値）その他の値正規分布曲線

途中式つきの解き方

この計算ツールについて

nが大きいとき、二項分布は同じ平均と標準偏差をもつ正規分布（釣り鐘型の曲線）によく似た形になります。コンピューターが普及する前は、これを利用して正規分布表から二項分布の確率を見積もっていました。現在でも、母比率のz検定の基礎になっています。

このツールは、二項分布の正確な確率と、連続性補正ありとなしの正規近似の値を並べて表示します。z値も表示し、よく使われる目安（np ≥ 5かつn(1 − p) ≥ 5）を満たしているかをチェックしたうえで、近似が正確な値からどれだけずれているかも示すので、近似を使ってよい場面がひと目でわかります。

使い方

n、p、kを入力します。
事象を選びます：P(X ≤ k)、P(X < k)、P(X ≥ k)、P(X > k)、P(X = k)。
正確な確率、近似値、補正後の境界値とz値、誤差を確認します。
目安の判定バッジを確認します。目安を満たしていない場合は、正確な値を信頼してください。

公式

平均と標準偏差をそろえる

μ = n·p σ = √(n·p·(1 − p))

近似に使う正規分布には、二項分布の平均と標準偏差をそのまま使います。

連続性補正

P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0.5) P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0.5) P(X = k) ≈ P(k − 0.5 < Y < k + 0.5)

二項分布は整数の値しかとらず、各値はkを中心とする幅1の棒のようなものです。境界を0.5ずらすことで、なめらかな曲線が棒を半分で切らずに丸ごと覆うようになります。

z値

z = (x − μ) / σ そのうえで P(Y < x) = Φ(z)

補正後の境界xを標準化し、標準正規分布の累積確率Φ(z)を求めます。「より大きい」事象では1 − Φ(z)を使います。

目安

n·p ≥ 5 かつ n·(1 − p) ≥ 5

成功と失敗の期待回数がどちらも十分に大きく、分布が0やnの端に押し付けられていないことが必要です。より厳しく、5の代わりに10を使う教科書もあります。

計算例

例1：100回投げて表が55回以下

公平なコインを100回投げます。P(X ≤ 55)を正規近似で求め、正確な値と比べてみましょう。

μ = 100 × 0.5 = 50、σ = √(100 × 0.5 × 0.5) = 5。目安の確認：np = 50、n(1 − p) = 50で、どちらも5以上です。
連続性補正：P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55.5)。
z = (55.5 − 50) / 5 = 1.1なので、近似値はΦ(1.1) = 0.864334。
二項分布の正確な値：P(X ≤ 55) = 0.864373。
補正しない場合はz = (55 − 50) / 5 = 1で、Φ(1) = 0.841345となり、明らかに精度が落ちます。

答え： 連続性補正をした近似値の誤差はわずか4 × 10⁻⁵です。補正しないと、誤差は約0.023になります。

例2：目安を満たさない場合

ある工程では10%の不良品が出ます。20個を抜き取ったとき、P(X ≤ 1)はいくらでしょうか。

μ = 20 × 0.1 = 2、σ = √(20 × 0.1 × 0.9) ≈ 1.342。目安の確認：np = 2で、5を下回っています。
補正後の境界は1.5で、z = (1.5 − 2) / 1.342 = -0.3727、近似値はΦ(z) = 0.354694。
二項分布の正確な値：P(X ≤ 1) = 0.9²⁰ + 20 × 0.1 × 0.9¹⁹ = 0.391747。

答え： 近似値の誤差は0.037（真の値の約9%）です。npが小さいと分布が偏るため、左右対称の釣り鐘型の曲線ではうまく当てはまりません。この場合は正確な値を使いましょう。