이항분포 정규근사 계산기
이항분포의 정확한 확률과 정규근사 값을 나란히 비교합니다. 연속성 보정, z점수, np ≥ 5 조건을 확인하고 근사 오차를 단계별 풀이와 함께 정확하게 보여 줍니다.
예: 0.3, 30% 또는 3/10
단계별 풀이
계산기 소개
n이 크면 이항분포는 평균과 표준편차가 같은 정규분포(종 모양 곡선)와 매우 비슷해집니다. 컴퓨터가 없던 시절에는 이를 이용해 표준정규분포표로 이항확률을 어림했고, 지금도 모비율에 대한 z검정의 바탕이 됩니다.
이 계산기는 정확한 이항확률과, 연속성 보정을 적용한 경우와 적용하지 않은 경우의 정규근사 값을 나란히 보여 줍니다. z점수도 표시하고, 흔히 쓰는 경험 법칙(np ≥ 5이고 n(1 − p) ≥ 5)을 만족하는지 확인하며, 근사값이 정확한 값과 얼마나 차이 나는지도 알려 주므로 언제 근사를 써도 안전한지 알 수 있습니다.
사용 방법
- n, p, k를 입력합니다.
- 사건을 선택합니다: P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k), P(X = k).
- 정확한 확률, 근사값, 보정된 경계와 z점수, 오차를 확인합니다.
- 경험 법칙 배지를 확인하세요. 조건을 만족하지 않으면 정확한 값을 믿으세요.
공식
평균과 표준편차 맞추기
μ = n·p σ = √(n·p·(1 − p))근사에 쓰는 정규곡선은 이항분포의 평균과 표준편차를 그대로 사용합니다.
연속성 보정
P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0.5) P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0.5) P(X = k) ≈ P(k − 0.5 < Y < k + 0.5)이항분포는 정수 값만 가지며, 각 값은 k를 중심으로 폭이 1인 막대와 같습니다. 경계를 0.5만큼 옮기면 매끄러운 곡선이 막대를 반으로 자르지 않고 전체를 덮게 됩니다.
z점수
z = (x − μ) / σ 그다음 P(Y < x) = Φ(z)보정된 경계 x를 표준화한 뒤 표준정규분포의 누적확률 Φ(z)를 찾습니다. ‘초과’ 사건에는 1 − Φ(z)를 사용합니다.
경험 법칙
n·p ≥ 5 그리고 n·(1 − p) ≥ 5두 기대 횟수가 모두 충분히 커야 분포가 0이나 n 쪽으로 쏠리지 않습니다. 더 엄격하게 5 대신 10을 쓰는 교재도 있습니다.
풀이 예제
예제 1: 동전 100번 던지기에서 앞면 55번 이하
공정한 동전을 100번 던집니다. 정규근사로 P(X ≤ 55)를 어림하고 정확한 답과 비교해 봅시다.
- μ = 100 × 0.5 = 50, σ = √(100 × 0.5 × 0.5) = 5. 조건 확인: np = 50, n(1 − p) = 50으로 둘 다 5 이상입니다.
- 연속성 보정: P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55.5).
- z = (55.5 − 50) / 5 = 1.1이므로 근사값은 Φ(1.1) = 0.864334입니다.
- 정확한 이항확률: P(X ≤ 55) = 0.864373.
- 보정하지 않으면 z = (55 − 50) / 5 = 1이고 Φ(1) = 0.841345입니다. 오차가 눈에 띄게 커집니다.
답: 보정한 근사값의 오차는 4 × 10⁻⁵에 불과합니다. 보정을 생략하면 오차가 약 0.023까지 커집니다.
예제 2: 경험 법칙을 만족하지 않을 때
어떤 공정에서 불량품이 10% 나옵니다. 20개를 표본으로 뽑았을 때 P(X ≤ 1)은 얼마일까요?
- μ = 20 × 0.1 = 2, σ = √(20 × 0.1 × 0.9) ≈ 1.342. 조건 확인: np = 2로 5보다 작습니다.
- 보정된 경계는 1.5이고, z = (1.5 − 2) / 1.342 = -0.3727, 근사값은 Φ(z) = 0.354694입니다.
- 정확한 이항확률: P(X ≤ 1) = 0.9²⁰ + 20 × 0.1 × 0.9¹⁹ = 0.391747.
답: 근사값의 오차는 0.037(참값의 약 9%)입니다. np가 작으면 분포가 한쪽으로 치우치기 때문에 좌우 대칭인 종 모양 곡선이 잘 맞지 않습니다. 이럴 때는 정확한 값을 사용하세요.
이항분포 정규근사 계산기를 사용하는 경우
- 이항분포 상황입니다: n이 고정되어 있고, 결과가 두 가지이며, p가 일정하고, 시행이 독립입니다.
- n·p와 n·(1 − p)가 모두 5 이상(더 엄격한 기준이면 10 이상)입니다.
- 손으로 빠르게 어림해야 하거나, 비율에 대한 z검정의 원리를 배우거나, 교재의 답을 확인하고 싶을 때.
- 소프트웨어를 쓸 수 있다면 정확한 이항확률이 언제나 근사값만큼 또는 그보다 더 정확합니다. 근사는 편의를 위한 것이지 정확도를 높이는 방법이 아닙니다. n이 크고 성공 횟수가 많아도 이항분포 계산기는 정확한 합을 바로 계산합니다.
적용할 수 없는 경우
- n이 작거나 p가 극단적인 경우(0이나 1에 가까울 때). n이 크더라도 p가 작으면 평균이 n·p인 푸아송 분포가 보통 더 나은 근사입니다.
- 꼬리 쪽 먼 곳의 확률, 예를 들어 동전 100번 던지기에서 P(X ≥ 90). 절대 오차는 아주 작을 수 있지만 상대 오차는 매우 클 수 있습니다.
자주 하는 실수
- 연속성 보정을 잊거나 경계를 반대 방향으로 옮기는 실수. ‘k 이하’는 k + 0.5, ‘k 이상’은 k − 0.5를 씁니다. ‘k 미만’은 ‘k − 1 이하’이므로 k − 0.5를 씁니다.
- z점수에 표준편차 √(n·p·(1 − p)) 대신 분산 n·p·(1 − p)를 넣는 실수.
- n·p나 n·(1 − p)가 작은데도 근사를 적용하는 실수. 이 경우 크게 틀릴 수 있습니다(예제 2 참고). 이항분포 계산기는 100,000 이하의 어떤 n에 대해서도 정확한 값을 구해 줍니다.
- 보정 없이 P(X = k)를 근사하는 실수. 연속 곡선에서 한 점의 확률은 정확히 0이므로 k − 0.5부터 k + 0.5까지의 구간을 사용해야 합니다.
자주 묻는 질문
연속성 보정이란 무엇인가요?
연속인 정규곡선으로 이산분포를 근사할 때 경계를 0.5만큼 조정하는 것입니다. 각 정수 k를 k − 0.5부터 k + 0.5까지의 구간으로 취급하므로 P(X ≤ k)는 P(Y < k + 0.5)가 됩니다.
이항분포의 정규근사는 언제 사용할 수 있나요?
n·p ≥ 5이고 n·(1 − p) ≥ 5일 때입니다(10을 요구하는 수업도 있습니다). 이 조건에서는 이항분포가 충분히 대칭에 가까워 종 모양 곡선이 잘 들어맞습니다.
정규근사는 얼마나 정확한가요?
n, p와 사건에 따라 다릅니다. 공정한 동전을 100번 던질 때 연속성 보정을 하면 P(X ≤ 55)의 오차는 약 4 × 10⁻⁵입니다. n = 20, p = 0.1이면 오차는 약 0.037입니다. 계산기는 입력값에 대한 정확한 오차를 보여 줍니다.
+ 0.5와 − 0.5 중 어느 쪽을 써야 하나요?
원하는 값마다 막대 전체가 포함되도록 구간을 넓힙니다. X ≤ k 또는 X > k이면 경계는 k + 0.5이고, X ≥ k 또는 X < k이면 k − 0.5입니다.
정확한 답을 구할 수 있는데 왜 근사를 쓰나요?
주로 손 계산이나 시험 때문이며, 비율에 대한 많은 통계 검정이 이 근사를 바탕으로 만들어졌기 때문입니다. 이 페이지처럼 정확한 이항확률을 계산할 수 있다면 정확한 값을 우선하세요.