Calculadora de aproximação normal da binomial
Compare a probabilidade binomial exata com a aproximação normal usando correção de continuidade, escore z e a regra np ≥ 5, e veja o erro exato.
ex.: 0,3; 30% ou 3/10
Resolução passo a passo
Sobre esta calculadora
Para n grande, a distribuição binomial se parece muito com uma curva normal (em forma de sino) com a mesma média e o mesmo desvio padrão. Antes dos computadores, isso permitia estimar probabilidades binomiais com uma tabela da normal, e ainda é a base do teste z usual para uma proporção.
Esta calculadora mostra as duas respostas lado a lado: a probabilidade binomial exata e a aproximação normal com e sem a correção de continuidade. Ela também mostra o escore z, verifica a regra prática usual (np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5) e informa o quanto a aproximação se afasta do valor exato, para você ver quando o atalho é seguro.
Como usar
- Digite n, p e k.
- Escolha o evento: P(X ≤ k), P(X < k), P(X ≥ k), P(X > k) ou P(X = k).
- Confira a probabilidade exata, a aproximação, o limite corrigido, o escore z e o erro.
- Observe o indicador da regra prática. Se ela não for atendida, confie no valor exato.
As fórmulas
Mesma média e mesmo desvio padrão
μ = n·p σ = √(n·p·(1 − p))A curva normal da aproximação usa exatamente a média e o desvio padrão da binomial.
Correção de continuidade
P(X ≤ k) ≈ P(Y < k + 0,5) P(X ≥ k) ≈ P(Y > k − 0,5) P(X = k) ≈ P(k − 0,5 < Y < k + 0,5)A binomial só assume valores inteiros, e cada um é como uma barra de largura 1 centrada em k. Deslocar o limite em meia unidade faz a curva contínua cobrir a barra inteira, em vez de cortá-la ao meio.
Escore z
z = (x − μ) / σ depois P(Y < x) = Φ(z)Padronize o limite corrigido x e consulte a probabilidade acumulada da normal padrão, Φ(z). Para eventos do tipo “maior que”, use 1 − Φ(z).
Regra prática
n·p ≥ 5 e n·(1 − p) ≥ 5As duas contagens esperadas devem ser grandes o bastante para que a distribuição não fique espremida contra 0 ou contra n. Alguns livros usam 10 em vez de 5, para um critério mais rigoroso.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: 55 caras ou menos em 100 lançamentos
Uma moeda honesta é lançada 100 vezes. Estime P(X ≤ 55) com a aproximação normal e compare com a resposta exata.
- μ = 100 × 0,5 = 50, σ = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5. Verificação da regra: np = 50 e n(1 − p) = 50, ambos ≥ 5.
- Correção de continuidade: P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55,5).
- z = (55,5 − 50) / 5 = 1,1, então a aproximação é Φ(1,1) = 0,864334.
- Binomial exata: P(X ≤ 55) = 0,864373.
- Sem a correção, z = (55 − 50) / 5 = 1 e Φ(1) = 0,841345 — bem pior.
Resposta: A aproximação corrigida erra por apenas 4 × 10⁻⁵; sem a correção, o erro fica em cerca de 0,023.
Exemplo 2: quando a regra prática não é atendida
Um processo produz 10% de itens defeituosos. Em uma amostra de 20, qual é P(X ≤ 1)?
- μ = 20 × 0,1 = 2, σ = √(20 × 0,1 × 0,9) ≈ 1,342. Verificação da regra: np = 2, abaixo de 5.
- Limite corrigido: 1,5; z = (1,5 − 2) / 1,342 = -0,3727; aproximação: Φ(z) = 0,354694.
- Binomial exata: P(X ≤ 1) = 0,9²⁰ + 20 × 0,1 × 0,9¹⁹ = 0,391747.
Resposta: A aproximação erra por 0,037 (cerca de 9% do valor verdadeiro). A distribuição é assimétrica quando np é pequeno, então uma curva em sino simétrica se ajusta mal — aqui, use o valor exato.
Quando usar a calculadora de aproximação normal da binomial
- A situação é binomial: n fixo, dois resultados possíveis, p constante e ensaios independentes.
- n·p e n·(1 − p) são ambos pelo menos 5 (ou 10, para um critério mais rigoroso).
- Você precisa de uma estimativa rápida à mão, está aprendendo como funcionam os testes z para proporções ou quer conferir a resposta de um livro.
- Se houver um software disponível, a probabilidade binomial exata é sempre pelo menos tão precisa; a aproximação é uma conveniência, não uma melhoria. Para n grande com muitos sucessos, a calculadora de distribuição binomial calcula a soma exata diretamente.
Quando não se aplica
- n pequeno ou p extremo (próximo de 0 ou de 1). Quando n é grande, mas p é pequeno, a distribuição de Poisson com média n·p costuma ser uma aproximação melhor.
- Probabilidades muito afastadas nas caudas, como P(X ≥ 90) em 100 lançamentos de moeda. O erro absoluto pode ser minúsculo, mas o erro relativo pode ser enorme.
Erros comuns
- Esquecer a correção de continuidade ou deslocar o limite para o lado errado. “No máximo k” usa k + 0,5; “pelo menos k” usa k − 0,5; “menos de k” é “no máximo k − 1”, então usa k − 0,5.
- Usar a variância n·p·(1 − p) no escore z, onde deveria entrar o desvio padrão √(n·p·(1 − p)).
- Aplicar a aproximação quando n·p ou n·(1 − p) é pequeno, situação em que ela pode errar bastante (veja o Exemplo 2). A calculadora de distribuição binomial dá o valor exato para qualquer n até 100.000.
- Aproximar P(X = k) sem correção: uma curva contínua dá exatamente 0 para um único ponto, então é preciso usar o intervalo de k − 0,5 a k + 0,5.
Perguntas frequentes
O que é a correção de continuidade?
Um ajuste de 0,5 no limite quando uma curva normal contínua aproxima uma distribuição discreta. Cada número inteiro k é tratado como o intervalo de k − 0,5 a k + 0,5, então P(X ≤ k) passa a ser P(Y < k + 0,5).
Quando posso usar a aproximação normal da binomial?
Quando n·p ≥ 5 e n·(1 − p) ≥ 5 (alguns cursos exigem 10). Nessas condições, a binomial é simétrica o suficiente para que a curva em sino se ajuste bem.
Qual é a precisão da aproximação normal?
Depende de n, de p e do evento. Para 100 lançamentos de uma moeda honesta, P(X ≤ 55) erra por cerca de 4 × 10⁻⁵ com a correção. Para n = 20 e p = 0,1, o erro é de cerca de 0,037. A calculadora mostra o erro exato para os seus valores.
Devo somar ou subtrair 0,5?
Amplie a região para incluir a barra inteira de cada valor que você quer. Para X ≤ k ou X > k, o limite é k + 0,5; para X ≥ k ou X < k, é k − 0,5.
Por que usar a aproximação se a resposta exata está disponível?
Principalmente para cálculos à mão, provas e porque muitos testes estatísticos para proporções se baseiam nela. Quando dá para calcular a probabilidade binomial exata, como esta página faz, prefira o valor exato.