少なくとも1回成功する確率の計算ツール
独立したn回の試行で少なくとも1回成功する確率1 − (1 − p)ⁿを計算します。確率50%・90%・95%・99%に達するのに必要な試行回数もすぐにわかります。
例：0.01、1%、1/100
主な目標確率ごとの必要試行回数
| 少なくとも1回成功する確率 | 必要な試行回数 |
|---|
途中式つきの解き方
この計算ツールについて
1回あたり1%の確率で起こることは、100回試せば必ず起こるのでしょうか。答えは「いいえ」です。このツールは、1回の試行で成功する確率pと試行回数nから、少なくとも1回成功する確率、1回も成功しない確率、そして指定した確率に達するまでに必要な試行回数を正確に計算します。
ゲームのドロップ率やガチャの当選確率、システム内の部品が少なくとも1つ故障する確率、品質管理の抜き取り検査など、各回が独立している「少なくとも1回は起こるか？」という問題に役立ちます。
使い方
- 1回の試行で成功する確率pを、小数（0.01）、パーセント（1%）、分数（1/100）のいずれかで入力します。
- 試行回数nを入力します。
- 必要に応じて目標の確率（初期値は95%）を変更すると、そこに達するのに必要な試行回数がわかります。
- 結果と、主な目標確率ごとの表は、入力に合わせて即座に更新されます。
公式
1回も成功しない確率
P(1回も成功しない) = (1 − p)ⁿ1回の試行が失敗する確率は1 − pです。各試行は独立しているので、n回すべて失敗する確率は、この値をn回掛け合わせたものになります。
少なくとも1回成功する確率
P(少なくとも1回) = 1 − (1 − p)ⁿ「少なくとも1回成功する」は「1回も成功しない」以外のすべての場合、つまり余事象です。ちょうど1回、2回、3回…成功する確率を足し合わせるよりも、ずっと簡単に求められます。
目標の確率cに必要な試行回数
n = ⌈ ln(1 − c) / ln(1 − p) ⌉1 − (1 − p)ⁿ ≥ cの両辺の対数をとってnについて解き、端数を切り上げます。試行回数は整数でなければならないからです。
pが小さいときの簡易ルール
P(少なくとも1回) ≈ 1 − e^(−n·p) n₉₅ ≈ 3 / ppが小さいとき、(1 − p)ⁿはe^(−np)に近くなります。これを0.05と置くとn ≈ ln(20) / p ≈ 3 / pとなり、これが「3の法則」です。
計算例
例1：確率1%で100回挑戦
あるアイテムのドロップ率は1%です。ボスを100回倒したとき、そのアイテムを少なくとも1回手に入れる確率はいくらでしょうか。
- 1回でドロップしない確率 = 1 − 0.01 = 0.99。
- 100回すべてでドロップしない確率 = 0.99¹⁰⁰ = 0.3660323413。
- 少なくとも1回ドロップする確率 = 1 − 0.3660323413 = 0.6339676587。
- 確率95%に必要な回数：ln(0.05) / ln(0.99) = 298.07、切り上げて299回。
答え： 約63.4%で、100%ではありません。100回挑戦したプレイヤーのうち約37%は、まだ1つも手に入れられていない計算です。確率50%に達するには69回、95%には299回、99%には459回必要です。
例2：サイコロで6の目を出す
公平なサイコロを4回振ったとき、6の目が少なくとも1回出る確率はいくらでしょうか。また、その確率を95%にするには何回振ればよいでしょうか。（これは17世紀にシュヴァリエ・ド・メレが持ち込んだとされる有名な賭けの問題の半分で、パスカルとフェルマーが確率論を研究するきっかけの1つになりました。）
- p = 1/6なので、1回振って6が出ない確率は5/6です。
- 4回とも6が出ない確率 = (5/6)⁴ = 625/1296 = 0.4822530864。
- 少なくとも1回6が出る確率 = 1 − 0.4822530864 = 0.5177469136。
- 確率95%に必要な回数：ln(0.05) / ln(5/6) = 16.431、切り上げて17回。
答え： 4回なら51.77%で、五分五分をわずかに上回ります。そのため、これに同額を賭けると、負けるよりもわずかに多く勝てます。6の目が少なくとも1回出る確率を95%にするには17回振る必要があります。
少なくとも1回成功する確率の計算ツールを使える場面
- 各試行の結果が成功か失敗のどちらかである。
- 成功確率pがどの試行でも同じである。
- 試行が互いに独立している（1回失敗しても、次の試行の成功しやすさは変わらない）。
- 知りたいのは何回成功するかではなく、少なくとも1回成功するかどうかである。
使えないケース
- 「天井」や確定ドロップのある仕組み、練習するほど上達するもの：試行ごとにpが変わります。
- 非復元抽出（1組のトランプからエースを探す場合など）：外れを引くたびに次の確率が変わります。
- 試行ごとに確率が異なる場合：代わりに1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ)を使います。
よくある間違い
- 確率を足し算してしまう。100回 × 1% = 100%は誤りです。確率には重なりがあり、正しい答えは1 − 0.99¹⁰⁰ ≈ 63.4%です。
- 1/p回試せば必ず成功すると思い込む。1/pは初めて成功するまでの平均試行回数ですが、pが小さい場合、約37%の確率でそれ以上かかります。
- 「少なくとも1回」と「ちょうど1回」を混同する。ちょうど1回の確率はn·p·(1 − p)ⁿ⁻¹で、こちらのほうが小さくなります。これを求めるには二項分布の計算ツールを使ってください。
- パーセント記号を付けずに入力してしまう（5%や0.05ではなく5と入力するなど）。
よくある質問
確率1%で100回試しても、必ず成功するとは限らないのはなぜですか？
各試行がそれぞれ独立に失敗しうるからです。100回すべて失敗する確率は0.99¹⁰⁰ ≈ 36.6%なので、少なくとも1回成功する確率は約63.4%です。何回試しても、確実になることはありません。
X分の1の確率なら、何回試せばよいですか？
X分の1という小さな確率なら、50%に達するには約0.69·X回、90%には2.3·X回、95%には3·X回、99%には4.6·X回が目安です。このツールでは、入力したpに対する正確な回数を整数で表示します。
これは二項分布のP(X ≥ 1)と同じですか？
はい。少なくとも1回成功する確率は、試行回数n、成功確率pの二項分布におけるP(X ≥ 1)で、1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿに等しくなります。
試行ごとに確率が違う場合は？
各回の失敗確率を掛け合わせて1から引きます：P(少なくとも1回) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ)。この場合も、各試行が独立であることが前提です。
初めて成功するまでの試行回数の期待値は？
平均1/p回です（幾何分布の平均）。確率1%なら100回ですが、100回試しても成功する確率は約63%にとどまります。