Calculadora de probabilidade de pelo menos um sucesso
Calcule a probabilidade de pelo menos um sucesso em n tentativas, 1 − (1 − p)ⁿ, e quantas tentativas são necessárias para 50%, 90%, 95% ou 99% de confiança.
ex.: 0,01; 1% ou 1/100
Tentativas necessárias para níveis de confiança comuns
| Confiança de pelo menos um sucesso | Tentativas necessárias |
|---|
Resolução passo a passo
Sobre esta calculadora
Se algo tem 1% de chance de acontecer a cada tentativa, tentar 100 vezes garante o resultado? Não garante. Esta calculadora responde à pergunta com exatidão: dada a probabilidade p de sucesso em uma tentativa e o número de tentativas n, ela mostra a probabilidade de pelo menos um sucesso, a probabilidade de nenhum e quantas tentativas você precisa para atingir o nível de confiança que escolher.
É útil para taxas de drop em jogos, para a chance de pelo menos um componente de um sistema falhar, para amostragem em controle de qualidade ou para qualquer pergunta do tipo “vai acontecer pelo menos uma vez?” em que as tentativas sejam independentes.
Como usar
- Digite p, a chance de sucesso em uma única tentativa, como decimal (0,01), porcentagem (1%) ou fração (1/100).
- Digite n, o número de tentativas.
- Se quiser, altere a confiança desejada (95% por padrão) para ver quantas tentativas seriam necessárias para atingi-la.
- Os resultados e a tabela de metas comuns são atualizados enquanto você digita.
As fórmulas
Probabilidade de nenhum sucesso
P(nenhum) = (1 − p)ⁿCada tentativa falha com probabilidade 1 − p. Como as tentativas são independentes, a chance de todas as n falharem é esse número multiplicado por ele mesmo n vezes.
Probabilidade de pelo menos um sucesso
P(pelo menos um) = 1 − (1 − p)ⁿ“Pelo menos um sucesso” é tudo, exceto “nenhum sucesso”, então é o complementar. Isso é muito mais fácil do que somar as chances de exatamente 1, 2, 3, … sucessos.
Tentativas necessárias para uma confiança c
n = ⌈ ln(1 − c) / ln(1 − p) ⌉Resolva 1 − (1 − p)ⁿ ≥ c para n aplicando logaritmos e arredonde para cima, até o próximo número inteiro, porque não existe fração de tentativa.
Regra rápida para p pequeno
P(pelo menos um) ≈ 1 − e^(−n·p) n₉₅ ≈ 3 / pQuando p é pequeno, (1 − p)ⁿ fica próximo de e^(−np). Igualando isso a 0,05, obtemos n ≈ ln(20) / p ≈ 3 / p, a chamada “regra do três”.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: 1% de chance, 100 tentativas
Um item tem taxa de drop de 1%. Você derrota o chefe 100 vezes. Qual é a chance de conseguir o item pelo menos uma vez?
- P(nenhum drop em uma tentativa) = 1 − 0,01 = 0,99.
- P(nenhum drop em 100 tentativas) = 0,99¹⁰⁰ = 0,3660323413.
- P(pelo menos um drop) = 1 − 0,3660323413 = 0,6339676587.
- Tentativas para 95% de confiança: ln(0,05) / ln(0,99) = 298,07; arredondando para cima, 299.
Resposta: Cerca de 63,4% — não 100%. Aproximadamente 37% dos jogadores que tentarem 100 vezes continuarão sem nada. Chegar a 50% exige 69 tentativas; a 95%, 299; e a 99%, 459.
Exemplo 2: tirar um seis
Qual é a chance de tirar pelo menos um seis em 4 lançamentos de um dado honesto, e quantos lançamentos dão 95% de chance? (Esta é metade de um famoso problema de apostas do século XVII associado ao Cavaleiro de Méré, que ajudou a motivar os trabalhos de Pascal e Fermat sobre probabilidade.)
- p = 1/6, então a chance de não sair seis em um lançamento é 5/6.
- P(nenhum seis em 4 lançamentos) = (5/6)⁴ = 625/1296 = 0,4822530864.
- P(pelo menos um seis) = 1 − 0,4822530864 = 0,5177469136.
- Lançamentos para 95%: ln(0,05) / ln(5/6) = 16,431; arredondando para cima, 17.
Resposta: 51,77% com 4 lançamentos — um pouco melhor que meio a meio, então uma aposta de igual para igual nesse resultado ganha um pouco mais vezes do que perde. São necessários 17 lançamentos para ter 95% de chance de pelo menos um seis.
Quando usar a calculadora de probabilidade de pelo menos um sucesso
- Cada tentativa dá certo ou dá errado.
- A chance de sucesso p é a mesma em todas as tentativas.
- As tentativas são independentes: falhar uma vez não torna a próxima tentativa mais nem menos propensa a dar certo.
- Você só quer saber se acontece pelo menos um sucesso, não quantos.
Quando não se aplica
- Sistemas com “pity” ou drop garantido, ou qualquer coisa que fique mais fácil com a prática: p muda de uma tentativa para outra.
- Retiradas sem reposição, como procurar um ás em um único baralho: cada retirada sem sucesso altera as chances da próxima.
- Probabilidades diferentes em cada tentativa: nesse caso, use 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ).
Erros comuns
- Somar as probabilidades. 100 tentativas × 1% = 100% está errado; as probabilidades se sobrepõem, e a resposta correta é 1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63,4%.
- Esperar um sucesso garantido depois de 1/p tentativas. 1/p é o número médio de tentativas até o primeiro sucesso, mas em cerca de 37% dos casos demora mais (quando p é pequeno).
- Confundir “pelo menos um” com “exatamente um”. A probabilidade de exatamente um é n·p·(1 − p)ⁿ⁻¹, que é menor; para isso, use a calculadora de distribuição binomial.
- Digitar a porcentagem sem o símbolo: 5 em vez de 5% ou 0,05.
Perguntas frequentes
Por que 100 tentativas com 1% de chance não garantem o sucesso?
Porque cada tentativa pode falhar de forma independente. A chance de falhar todas as 100 é 0,99¹⁰⁰ ≈ 36,6%, então a chance de pelo menos um sucesso é de cerca de 63,4%. Nenhum número finito de tentativas torna o sucesso garantido.
Quantas tentativas preciso para uma chance de 1 em X?
Para uma chance pequena de 1 em X, você precisa de cerca de 0,69·X tentativas para ter 50% de chance, 2,3·X para 90%, 3·X para 95% e 4,6·X para 99%. A calculadora dá o número inteiro exato para o seu p.
Isso é o mesmo que P(X ≥ 1) em uma distribuição binomial?
Sim. P(pelo menos um sucesso) é P(X ≥ 1) em uma distribuição binomial com n ensaios e probabilidade p, que é igual a 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.
E se a probabilidade for diferente em cada tentativa?
Multiplique as probabilidades de falha de cada tentativa e subtraia o resultado de 1: P(pelo menos um) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ). As tentativas continuam precisando ser independentes.
Qual é o número esperado de tentativas até o primeiro sucesso?
Em média, 1/p tentativas (essa é a média da distribuição geométrica). Para uma chance de 1%, são 100 tentativas, embora 100 tentativas deem apenas cerca de 63% de chance de sucesso.