적어도 한 번 성공할 확률 계산기
독립적인 n번의 시도에서 적어도 한 번 성공할 확률 1 − (1 − p)ⁿ과, 50%·90%·95%·99% 확률에 도달하는 데 필요한 시도 횟수를 무료로 바로 계산합니다.
예: 0.01, 1% 또는 1/100
주요 목표 확률별 필요한 시도 횟수
| 적어도 한 번 성공할 확률 | 필요한 시도 횟수 |
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단계별 풀이
계산기 소개
매번 1% 확률로 일어나는 일은 100번 시도하면 반드시 일어날까요? 그렇지 않습니다. 이 계산기는 한 번 시도할 때의 성공 확률 p와 시도 횟수 n을 바탕으로, 적어도 한 번 성공할 확률, 한 번도 성공하지 못할 확률, 그리고 원하는 확률에 도달하려면 몇 번 시도해야 하는지를 정확하게 계산합니다.
게임 아이템 드롭률이나 뽑기 확률, 시스템의 부품 중 적어도 하나가 고장 날 확률, 품질 관리 표본 검사처럼 각 시도가 독립적인 ‘적어도 한 번은 일어날까?’ 문제에 유용합니다.
사용 방법
- 한 번 시도할 때의 성공 확률 p를 소수(0.01), 백분율(1%), 분수(1/100) 중 하나로 입력합니다.
- 시도 횟수 n을 입력합니다.
- 필요하면 목표 확률(기본값 95%)을 바꿔 그 확률에 도달하는 데 몇 번이 필요한지 확인합니다.
- 결과와 주요 목표 확률별 표는 입력하는 즉시 업데이트됩니다.
공식
한 번도 성공하지 못할 확률
P(0번 성공) = (1 − p)ⁿ한 번의 시도가 실패할 확률은 1 − p입니다. 시도가 서로 독립이므로 n번 모두 실패할 확률은 이 값을 n번 곱한 값입니다.
적어도 한 번 성공할 확률
P(적어도 한 번) = 1 − (1 − p)ⁿ‘적어도 한 번 성공’은 ‘한 번도 성공하지 못함’을 제외한 모든 경우, 즉 여사건입니다. 정확히 1번, 2번, 3번, … 성공할 확률을 일일이 더하는 것보다 훨씬 간단합니다.
목표 확률 c에 필요한 시도 횟수
n = ⌈ ln(1 − c) / ln(1 − p) ⌉1 − (1 − p)ⁿ ≥ c의 양변에 로그를 취해 n에 대해 풀고, 다음 정수로 올림합니다. 시도는 정수 번만 할 수 있기 때문입니다.
p가 작을 때의 간단한 규칙
P(적어도 한 번) ≈ 1 − e^(−n·p) n₉₅ ≈ 3 / pp가 작으면 (1 − p)ⁿ은 e^(−np)에 가깝습니다. 이 값을 0.05로 놓으면 n ≈ ln(20) / p ≈ 3 / p가 되며, 이것이 ‘3의 법칙’입니다.
풀이 예제
예제 1: 1% 확률로 100번 시도
어떤 아이템의 드롭률이 1%입니다. 보스를 100번 잡았을 때 이 아이템을 적어도 한 번 얻을 확률은 얼마일까요?
- 한 번 잡았을 때 드롭되지 않을 확률 = 1 − 0.01 = 0.99.
- 100번 모두 드롭되지 않을 확률 = 0.99¹⁰⁰ = 0.3660323413.
- 적어도 한 번 드롭될 확률 = 1 − 0.3660323413 = 0.6339676587.
- 95% 확률에 필요한 횟수: ln(0.05) / ln(0.99) = 298.07, 올림하면 299번.
답: 약 63.4%이며 100%가 아닙니다. 100번 시도한 플레이어 중 약 37%는 여전히 아이템을 하나도 얻지 못합니다. 50%에 도달하려면 69번, 95%는 299번, 99%는 459번이 필요합니다.
예제 2: 주사위로 6 굴리기
공정한 주사위를 4번 던질 때 6이 적어도 한 번 나올 확률은 얼마이고, 95% 확률이 되려면 몇 번 던져야 할까요? (17세기 슈발리에 드 메레와 관련된 유명한 도박 문제의 절반으로, 파스칼과 페르마가 확률론을 연구하는 계기가 된 문제입니다.)
- p = 1/6이므로 한 번 던져 6이 나오지 않을 확률은 5/6입니다.
- 4번 모두 6이 나오지 않을 확률 = (5/6)⁴ = 625/1296 = 0.4822530864.
- 적어도 한 번 6이 나올 확률 = 1 − 0.4822530864 = 0.5177469136.
- 95%에 필요한 횟수: ln(0.05) / ln(5/6) = 16.431, 올림하면 17번.
답: 4번 던지면 51.77%로 반반보다 아주 조금 높습니다. 그래서 여기에 같은 금액을 거는 내기는 지는 경우보다 이기는 경우가 조금 더 많습니다. 6이 적어도 한 번 나올 확률을 95%로 만들려면 17번 던져야 합니다.
적어도 한 번 성공할 확률 계산기를 사용하는 경우
- 각 시도는 성공 아니면 실패입니다.
- 성공 확률 p가 모든 시도에서 같습니다.
- 시도가 서로 독립입니다. 한 번 실패했다고 해서 다음 시도의 성공 가능성이 높아지거나 낮아지지 않습니다.
- 몇 번 성공하는지가 아니라 적어도 한 번 성공하는지만 궁금합니다.
적용할 수 없는 경우
- ‘천장’이나 확정 드롭 같은 보정 장치가 있는 경우, 또는 연습할수록 쉬워지는 경우: 시도마다 p가 달라집니다.
- 비복원 추출, 예를 들어 카드 한 벌에서 에이스를 찾는 경우: 실패한 뽑기마다 다음 확률이 바뀝니다.
- 시도마다 확률이 다른 경우: 대신 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ)을 사용하세요.
자주 하는 실수
- 확률을 더하는 실수. 100번 × 1% = 100%는 틀렸습니다. 확률이 서로 겹치기 때문이며, 올바른 답은 1 − 0.99¹⁰⁰ ≈ 63.4%입니다.
- 1/p번 시도하면 반드시 성공한다고 기대하는 실수. 1/p는 첫 성공까지의 평균 시도 횟수일 뿐이며, p가 작을 때는 약 37%의 확률로 그보다 오래 걸립니다.
- ‘적어도 한 번’과 ‘정확히 한 번’을 혼동하는 실수. 정확히 한 번 성공할 확률은 n·p·(1 − p)ⁿ⁻¹이며 이보다 작습니다. 이 값은 이항분포 계산기로 구하세요.
- 퍼센트 기호 없이 5%나 0.05 대신 5를 입력하는 실수.
자주 묻는 질문
1% 확률로 100번 시도해도 반드시 성공하지 않는 이유는 무엇인가요?
각 시도가 독립적으로 실패할 수 있기 때문입니다. 100번 모두 실패할 확률은 0.99¹⁰⁰ ≈ 36.6%이므로 적어도 한 번 성공할 확률은 약 63.4%입니다. 시도 횟수를 아무리 늘려도 확실해지지는 않습니다.
X분의 1 확률이라면 몇 번 시도해야 하나요?
X분의 1처럼 작은 확률이라면 50% 확률에는 약 0.69·X번, 90%에는 2.3·X번, 95%에는 3·X번, 99%에는 4.6·X번이 필요합니다. 계산기는 입력한 p에 대한 정확한 정수 횟수를 보여 줍니다.
이항분포의 P(X ≥ 1)과 같은 건가요?
네. 적어도 한 번 성공할 확률은 시행 횟수 n, 확률 p인 이항분포의 P(X ≥ 1)이며, 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ과 같습니다.
시도마다 확률이 다르면 어떻게 하나요?
각 시도의 실패 확률을 모두 곱한 뒤 1에서 빼면 됩니다: P(적어도 한 번) = 1 − (1 − p₁)(1 − p₂)…(1 − pₙ). 이때도 시도는 서로 독립이어야 합니다.
첫 성공까지 필요한 시도 횟수의 기댓값은 얼마인가요?
평균 1/p번입니다(기하분포의 평균). 1% 확률이라면 100번이지만, 100번을 시도해도 성공할 확률은 약 63%에 불과합니다.