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이항분포 계산기

무료 이항분포 계산기입니다. P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k)와 구간 확률은 물론 평균, 분산, 분포표, 그래프, 단계별 풀이까지 한 번에 확인하세요.

예: 0.25, 25% 또는 1/4

그래프에서 강조할 사건
평균 μ = np
분산 σ² = np(1 − p)
표준편차 σ
선택한 사건 그 밖의 값

단계별 풀이

    확률표

    xP(X = x)P(X ≤ x)P(X ≥ x)

    계산기 소개

    이항분포는 성공 확률 p가 매번 같고 서로 영향을 주지 않는 시행을 정해진 횟수 n만큼 반복할 때, 성공 횟수 X가 따르는 분포입니다. 동전을 10번 던져 앞면이 나오는 횟수, 부품 50개 중 불량품의 개수, 객관식 시험에서 찍어서 맞힌 문제 수가 대표적인 예입니다.

    위 칸에 n, p, k를 입력하면 정확히 k번 성공할 확률과 네 가지 누적확률(미만, 이하, 초과, 이상), 두 값 사이에 있을 확률, 평균·분산·표준편차, 확률표, 그래프, 그리고 입력한 숫자를 공식에 그대로 대입한 풀이 과정을 보여 줍니다.

    모든 결과는 정규근사나 인쇄된 표가 아니라 이항분포 공식으로 브라우저에서 직접 계산하며, n은 1부터 100,000까지 입력할 수 있습니다.

    사용 방법

    1. 시행 횟수 n을 입력합니다(정수).
    2. 한 번의 시행에서 성공할 확률 p를 입력합니다. 소수(0.25), 백분율(25%), 분수(1/4) 중 어떤 형식으로든 입력할 수 있습니다.
    3. 알고 싶은 성공 횟수 k를 입력합니다.
    4. 그래프에서 강조할 사건을 고릅니다. 예를 들어 ‘k 이상’을 선택하거나, ‘a 이상 b 이하’를 선택하고 양쪽 경계를 입력합니다.
    5. 결과, 표, 그래프를 확인합니다. 입력하는 즉시 바뀌고 페이지 주소도 함께 바뀌므로, 입력값 그대로 북마크하거나 공유할 수 있습니다.

    공식

    정확히 k번 성공할 확률

    P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

    특정한 k번의 시행이 모두 성공할 확률이 pᵏ이고, 나머지 n − k번이 모두 실패할 확률이 (1 − p)ⁿ⁻ᵏ입니다. C(n, k)는 그 성공들이 나타날 수 있는 순서의 가짓수이므로, 특정한 한 가지 순서의 확률에 그런 순서의 개수를 곱하는 셈입니다.

    이항계수

    C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

    ⁿCₖ 또는 ‘n개 중 k개를 고르는 조합’이라고도 하며, n번의 시행 중 어느 k번이 성공인지 고르는 방법의 수입니다.

    누적확률

    P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k) P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)

    누적확률은 개별 항을 더한 값입니다. 한쪽의 합이 길어질 때는 모든 경우의 확률을 더하면 항상 1이 된다는 점을 이용해 여사건으로 계산하는 편이 빠릅니다.

    평균, 분산, 표준편차

    μ = n·p σ² = n·p·(1 − p) σ = √(n·p·(1 − p))

    평균은 오랫동안 반복했을 때의 평균 성공 횟수입니다. 표준편차는 일반적인 결과가 그 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.

    풀이 예제

    예제 1: 동전 10번 던지기에서 앞면 6번

    공정한 동전을 10번 던집니다. 앞면이 정확히 6번 나올 확률과 6번 이하로 나올 확률은 얼마일까요? 여기서 n = 10, p = 0.5, k = 6입니다.

    1. 나올 수 있는 순서의 수를 셉니다: C(10, 6) = 10! / (6! · 4!) = 210.
    2. 특정한 한 가지 순서가 나올 확률: 0.5⁶ · 0.5⁴ = 0.0009765625(즉 1/1024).
    3. 곱합니다: P(X = 6) = 210 × 0.0009765625 = 0.205078125.
    4. ‘6번 이하’는 여사건 쪽이 더 짧습니다: P(X ≥ 7) = (C(10,7) + C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)) / 1024 = (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176/1024 = 0.171875.
    5. 따라서 P(X ≤ 6) = 1 − 0.171875 = 0.828125입니다.

    답: P(X = 6) = 0.205078125(약 20.5%), P(X ≤ 6) = 0.828125(약 82.8%)입니다.

    예제 2: 찍어서 시험에 합격할 확률

    4지선다형 문제 20개로 이루어진 시험에서 모든 답을 찍습니다. 10문제 이상 맞히면 합격입니다. 합격할 확률은 얼마일까요? 여기서 n = 20, p = 0.25이고 구하려는 값은 P(X ≥ 10)입니다.

    1. 평균과 퍼짐: μ = 20 × 0.25 = 5문제, σ = √(20 × 0.25 × 0.75) ≈ 1.936.
    2. 합격선에 해당하는 항 하나: P(X = 10) = 184,756 × 0.25¹⁰ × 0.75¹⁰ = 0.0099222753.
    3. 여사건을 이용합니다: P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0.9861355831.

    답: P(X ≥ 10) = 0.0138644169, 대략 1.4% 정도로 약 72번에 1번꼴입니다. 합격선인 10문제는 찍었을 때의 평균보다 표준편차의 약 2.6배만큼 위에 있습니다.

    이항분포 계산기를 사용하는 경우

    적용할 수 없는 경우

    자주 하는 실수

    자주 묻는 질문

    이항확률 계산기인가요, 이항분포 계산기인가요?

    둘 다입니다. 한 값의 확률 P(X = k)와 분포 전체를 나타내는 누적확률을 구하고, X가 가질 수 있는 주요 값 전체의 확률표도 함께 보여 줍니다.

    적어도 k번 성공할 확률은 어떻게 계산하나요?

    P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)을 이용합니다. 위에 n, p, k를 입력하고 ‘P(X ≥ k)’ 행을 확인하세요. ‘k 이상’을 선택하면 그래프에서 해당 막대도 강조됩니다.

    X가 두 수 사이에 있을 확률은 어떻게 구하나요?

    ‘a 이상 b 이하’를 선택하고 양쪽 경계를 입력하세요. P(X = a)부터 P(X = b)까지 더하므로 두 경계값이 모두 포함됩니다. 경계를 포함하지 않으려면 각 경계를 안쪽으로 1씩 옮기세요.

    이항분포의 평균과 표준편차는 무엇인가요?

    평균은 n·p, 표준편차는 √(n·p·(1 − p))입니다. 동전을 10번 던지면 앞면 횟수의 평균은 5번, 표준편차는 약 1.58입니다.

    p를 분수나 백분율로 입력할 수 있나요?

    네. 1/6, 0.1667, 16.67% 모두 입력할 수 있습니다. 분수는 정밀도가 그대로 유지되므로 주사위나 카드 문제에 편리합니다.

    n은 얼마까지 입력할 수 있나요?

    시행 횟수는 100,000번까지 입력할 수 있습니다. n이 크면 표와 그래프는 확률이 몰려 있는 평균 근처 구간을 보여 주지만, 누적확률은 언제나 분포 전체를 반영합니다.

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