Calculadora de distribuição binomial
Calculadora binomial grátis: calcule P(X = k), P(X ≤ k), P(X ≥ k) e intervalos, além de média, variância, tabela, gráfico e resolução passo a passo.
ex.: 0,25; 25% ou 1/4
Resolução passo a passo
Tabela de probabilidades
| x | P(X = x) | P(X ≤ x) | P(X ≥ x) |
|---|
Sobre esta calculadora
A distribuição binomial descreve o número de sucessos X em um número fixo de ensaios n, quando todos os ensaios têm a mesma probabilidade de sucesso p e um não interfere no outro. Exemplos clássicos são o número de caras em 10 lançamentos de uma moeda, o número de peças defeituosas em um lote de 50 ou o número de acertos no chute em uma prova de múltipla escolha.
Digite n, p e k acima. A calculadora mostra a probabilidade de exatamente k sucessos e as quatro probabilidades acumuladas (menos de, no máximo, mais de, pelo menos), a probabilidade de cair entre dois valores, a média, a variância e o desvio padrão, uma tabela de probabilidades, um gráfico e a resolução completa com os seus próprios números substituídos na fórmula.
Todos os resultados são calculados no seu navegador diretamente pela fórmula binomial — e não por uma aproximação normal ou por uma tabela impressa — para qualquer n de 1 a 100.000.
Como usar
- Digite o número de ensaios n (um número inteiro).
- Digite a probabilidade de sucesso em um único ensaio, p. Você pode usar decimal (0,25), porcentagem (25%) ou fração (1/4).
- Digite o número de sucessos k que você quer analisar.
- Escolha qual evento destacar — por exemplo, “Pelo menos k” — ou selecione “Entre a e b” e informe os dois limites.
- Confira os resultados, a tabela e o gráfico. Eles são atualizados enquanto você digita, assim como o endereço da página, então dá para salvar nos favoritos ou compartilhar exatamente os valores que você usou.
As fórmulas
Probabilidade de exatamente k sucessos
P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏpᵏ é a chance de que k ensaios específicos deem todos certo, e (1 − p)ⁿ⁻ᵏ é a chance de que os n − k restantes deem todos errado. C(n, k) conta em quantas ordens diferentes esses sucessos podem aparecer; por isso, multiplica a probabilidade de uma sequência específica pelo número de sequências desse tipo.
Coeficiente binomial
C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)Também escrito ⁿCₖ ou lido como “combinação de n, k a k”: é o número de maneiras de escolher quais k dos n ensaios são os sucessos.
Probabilidades acumuladas
P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k) P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)As probabilidades acumuladas somam termos individuais. Quando a soma de um lado é longa, é mais rápido usar o complementar: as probabilidades de todos os resultados possíveis sempre somam 1.
Média, variância e desvio padrão
μ = n·p σ² = n·p·(1 − p) σ = √(n·p·(1 − p))A média é o número médio de sucessos no longo prazo. O desvio padrão mede o quanto um resultado típico se afasta dessa média.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: seis caras em 10 lançamentos de moeda
Uma moeda honesta é lançada 10 vezes. Qual é a probabilidade de sair exatamente 6 caras? E de sair no máximo 6? Aqui n = 10, p = 0,5 e k = 6.
- Conte as ordenações possíveis: C(10, 6) = 10! / (6! · 4!) = 210.
- Probabilidade de uma ordenação específica: 0,5⁶ · 0,5⁴ = 0,0009765625 (ou seja, 1/1024).
- Multiplique: P(X = 6) = 210 × 0,0009765625 = 0,205078125.
- Para “no máximo 6”, o complementar é mais curto: P(X ≥ 7) = (C(10,7) + C(10,8) + C(10,9) + C(10,10)) / 1024 = (120 + 45 + 10 + 1) / 1024 = 176/1024 = 0,171875.
- Logo, P(X ≤ 6) = 1 − 0,171875 = 0,828125.
Resposta: P(X = 6) = 0,205078125 (cerca de 20,5%) e P(X ≤ 6) = 0,828125 (cerca de 82,8%).
Exemplo 2: passar em uma prova no chute
Uma prova tem 20 questões de múltipla escolha com 4 alternativas cada. Um aluno chuta todas as respostas, e são necessários 10 acertos para passar. Qual é a chance de ele passar? Aqui n = 20, p = 0,25 e queremos P(X ≥ 10).
- Média e dispersão: μ = 20 × 0,25 = 5 acertos, σ = √(20 × 0,25 × 0,75) ≈ 1,936.
- O termo exatamente na nota mínima: P(X = 10) = 184.756 × 0,25¹⁰ × 0,75¹⁰ = 0,0099222753.
- Use o complementar: P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0,9861355831.
Resposta: P(X ≥ 10) = 0,0138644169, aproximadamente 1,4% — cerca de 1 chance em 72. A nota mínima de 10 acertos fica cerca de 2,6 desvios padrão acima do que o chute produz em média.
Quando usar a calculadora de distribuição binomial
- Há um número fixo de ensaios n, definido de antemão.
- Cada ensaio tem exatamente dois resultados possíveis, que você chama de sucesso e fracasso.
- A probabilidade de sucesso p é a mesma em todos os ensaios.
- Os ensaios são independentes: o resultado de um não altera as chances de outro.
- Você está contando o número de sucessos, não a ordem em que eles acontecem.
Quando não se aplica
- Retiradas sem reposição de um grupo pequeno (por exemplo, cartas de um mesmo baralho): p muda a cada retirada, então o modelo correto é a distribuição hipergeométrica. Se a amostra for menor que cerca de 10% da população, a binomial costuma ser uma boa aproximação.
- Contagem de eventos ao longo do tempo ou do espaço sem número fixo de ensaios (ligações por hora, erros de digitação por página): isso geralmente é uma distribuição de Poisson.
- Esperar pelo primeiro sucesso (“quantas tentativas até…”): isso é uma distribuição geométrica — veja a calculadora de probabilidade de pelo menos um sucesso para a pergunta relacionada de quantas tentativas você precisa.
Erros comuns
- Confundir “pelo menos” com “mais de”. P(X ≥ 3) inclui o 3; P(X > 3) não. Da mesma forma, “no máximo 3” é P(X ≤ 3) e “menos de 3” é P(X < 3).
- Usar P(X = k) quando a pergunta é acumulada. “Qual é a chance de 3 ou menos?” pede P(X ≤ 3), a soma de quatro termos.
- Digitar p como porcentagem sem o símbolo, como 30 em vez de 0,3. Esta calculadora aceita 30% com o símbolo de porcentagem, ou 0,3.
- Arredondar cedo demais. pᵏ pode ser muito pequeno; arredondá-lo para duas ou três casas antes de multiplicar pode mudar bastante a resposta.
- Esquecer o fator C(n, k), o que dá a probabilidade de uma sequência específica em vez de qualquer sequência com k sucessos. A calculadora de coeficiente binomial calcula esse fator com exatidão.
Perguntas frequentes
Esta é uma calculadora de probabilidade binomial ou de distribuição binomial?
As duas coisas. Ela dá a probabilidade de um único valor, P(X = k), e as probabilidades acumuladas que descrevem a distribuição inteira, junto com uma tabela de todos os valores prováveis de X.
Como calcular a probabilidade de pelo menos k sucessos?
Use P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1). Digite n, p e k acima e veja a linha “P(X ≥ k)”; ao selecionar “Pelo menos k”, essas barras também ficam destacadas no gráfico.
Como encontrar a probabilidade de X estar entre dois números?
Escolha a opção “Entre a e b” e informe os dois limites. A calculadora soma de P(X = a) até P(X = b), então os dois limites estão incluídos. Para um intervalo estrito, mova cada limite uma unidade para dentro.
Quais são a média e o desvio padrão de uma distribuição binomial?
A média é n·p e o desvio padrão é √(n·p·(1 − p)). Para 10 lançamentos de uma moeda honesta, isso dá uma média de 5 caras e um desvio padrão de cerca de 1,58.
Posso digitar p como fração ou porcentagem?
Sim. 1/6, 0,1667 e 16,67% são todos aceitos. A fração mantém a precisão total, o que é útil em problemas com dados e cartas.
Qual é o maior valor de n aceito?
Até 100.000 ensaios. Para n grande, a tabela e o gráfico mostram a faixa em torno da média onde a probabilidade se concentra, e todos os valores acumulados continuam considerando a distribuição completa.